Теория к задачам: кусочная функция и прямая

В таких задачах функция задана разными формулами на разных промежутках. Нужно построить график и найти, при каких горизонтальная прямая пересекает график заданное число раз (обычно ровно 2).

1. Как строить график

— для каждой формулы составьте таблицу из 2–4 точек;

— если кусок — парабола, обязательно найдите вершину:

— если кусок — прямая, достаточно двух точек;

— соедините точки только в пределах своего промежутка.

2. Границы промежутков — самое важное

Смотрите на знак неравенства:

— или → точка на границе выколотая;

— или → точка закрашенная.

Если на одном значения разные — на графике разрыв (скачок).

3. Что такое прямая 

Это горизонтальная линия на высоте . Чтобы найти число пересечений, «проводим» её по оси снизу вверх и считаем, сколько раз она встречает график.

4. Критические уровни 

Обязательно отметьте:

— вершину параболы;

— значения в точках стыка и разрыва;

— выколотые и закрашенные точки.

Между соседними критическими уровнями число пересечений обычно не меняется.

5. Алгоритм решения

1) Построить каждый кусок (таблицы + вершина параболы).

2) Отметить выколотые и закрашенные точки.

3) Найти критические уровни .

4) Проверить число пересечений на каждом промежутке по .

5) Записать ответ: промежутки + отдельные значения.

6. Как считать пересечения

— выколотая точка не считается пересечением;

— закрашенная точка считается;

— если прямая проходит через вершину параболы — это 1 точка на этом куске;

— если прямая проходит через точку стыка двух кусков — это 1 точка, даже если там «угол».

7. Типичные ответы

Точки и границы промежутков (включать или нет) зависят от выколотых/закрашенных точек — проверяйте каждую границу отдельно.

8. Частые ошибки

— забывают, что выколотая точка не даёт пересечения;

— путают «2 точки на параболе» и «2 точки на всём графике»;

— не учитывают левый/правый кусок при разрыве;

— включают в ответ границу, где число пересечений меняется (например, где уже 3 точки).

Главная идея: построить график аккуратно по кускам, выделить критические уровни и на каждом промежутке посчитать, сколько раз горизонтальная прямая пересекает график.