Постройте график функции
Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну или две общие точки.
Показать решение
Разберём график по частям.
1) Параболическая часть: при .
Можно записать: . Ветви вверх.
Вершина:
Точка .
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
2) Гиперболическая часть: при .
Горизонтальная асимптота — ось .
| x | −8 | −4 | −2 |
| y | 0,25 | 0,5 | 1 |
В точке обе части дают , поэтому — точка стыка (закрашенная).
Найдём , при которых пересекает график 1 или 2 раза.
Положение 1 — прямая проходит через вершину параболы : . Пересечение одно → подходит.
Положение 2 — прямая проходит через точку стыка : . Две точки: и → подходит.
При : гипербола даёт 1 точку, парабола — 2. Всего 3 точки → не подходит.
При : с гиперболой пересечений нет (она ниже уровня 1), с параболой — одна точка на правой ветви → подходит.
При : пересечений нет.
Ответ: .
Теория
Кусочная функция и горизонтальная прямая
В заданиях такого типа нужно определить, при каких значениях прямая имеет с графиком заданное число общих точек (1, 2, иногда 3).
1) Что важно в кусочной функции
Функция задаётся разными формулами на разных промежутках. Например:
Это значит, что:
— для работает только парабола;
— для работает только гипербола.
2) Точка стыка кусков
Проверьте значение на границе (здесь ):
— если обе части дают одно и то же число, график в стыке соединяется;
— если числа разные, будет закрашенная и выколотая точки (разрыв).
3) Как считать пересечения с
Горизонтальная прямая — это «уровень высоты». Поднимаем этот уровень вверх и считаем, сколько раз он пересёк график.
Удобно считать отдельно по кускам:
— сколько пересечений с первой частью;
— сколько со второй;
— сложить.
4) Критические уровни
Именно на этих уровнях меняется число пересечений:
— ордината вершины параболы;
— ордината точки стыка;
— особые уровни гиперболы (например, около асимптоты ).
5) Типичные свойства в таких задачах
Для параболы :
— минимум в вершине: ;
— ниже минимума пересечений нет;
— на уровне минимума — одно касание;
— выше — обычно два пересечения, но из-за ограничения по может остаться одно.
Для гиперболы при :
— значения положительные;
— при движении к приближается к сверху;
— максимальное достижимое значение на этом куске связано с границей .
6) Алгоритм решения (универсальный)
1. Построить обе части графика по таблицам значений.
2. Отметить вершины, стык, выколотые/закрашенные точки.
3. Выписать критические уровни .
4. Разбить ось на промежутки между критическими уровнями.
5. Для каждого промежутка посчитать число пересечений.
6. Выбрать те , которые удовлетворяют условию задачи.
7) Частые ошибки
— забывают, что у каждого куска свой промежуток по ;
— считают выколотую точку как пересечение;
— не проверяют отдельно граничные уровни (например, значение в вершине и в стыке);
— делают вывод «по виду» без подсчёта на промежутках по .
Главная идея: не угадывать по картинке, а системно считать пересечения уровня с каждым куском функции.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий