Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если
Показать решение
Шаг 1. Используем теорему о касательной и секущей.
Пусть окружность касается луча AB в точке K. Тогда AK — касательная, а AMN — секущая.
По теореме о касательной и секущей:
Шаг 2. Введём систему координат.
Поместим точку A в начало координат (0; 0).
Направим луч AB вдоль оси Ox.
Тогда:
Точка касания K имеет координаты
Шаг 3. Координаты точек M и N.
Точки M и N лежат на луче AC под углом \angle BAC к оси Ox.
Координаты:
Шаг 4. Найдём центр окружности.
Центр окружности O лежит на перпендикуляре к касательной AB в точке касания K.
Так как AB — ось Ox, перпендикуляр к ней — вертикальная прямая
Значит, центр окружности имеет координаты где r — радиус окружности.
Шаг 5. Используем равенство расстояний.
Расстояние от центра O до точки M равно радиусу r:
Вычислим:
Приравняем к
Шаг 6. Проверка через точку N.
Проверим, что расстояние ON также равно r = 13,5:
Вычислим:
Тогда:
Приведём к общему знаменателю:
Значит, ON = 13,5 = r ✓
Ответ: 13,5
Теория
1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
2) Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих.
3) Если в треугольнике отрезок, выходящий из вершины, является одновременно высотой и биссектрисой, то треугольник — равнобедренный (признак).
4) В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
5) Признак подобия треугольников по двум углам — один из самых удобных в геометрических задачах.
6) При продлении медианы на её длину получается параллелограмм, что даёт равенство противоположных сторон и параллельность.
7) В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
8) Теорема Пифагора позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.
9) Часто в задачах полезно выражать отношения отрезков через подобие, а затем находить длины по известной сумме.
10) Комбинация свойств биссектрисы, медианы и перпендикулярности приводит к равнобедренным треугольникам и пропорциям.
Источник задачи: Задания реального ОГЭ 2026