В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.
Показать решение
Обозначим точку пересечения BE и AD через O . По условию , следовательно,
Так как BE — биссектриса то
Рассмотрим треугольник ABD. В нём отрезок BO является одновременно высотой и биссектрисой . По признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный с основанием AD. Следовательно, BO также является медианой, и
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:
Но , так как AD — медиана треугольника ABC. Таким образом,
Применим свойство биссектрисы в треугольнике ABC:
Отсюда
Продлим медиану AD за точку D на её длину и обозначим полученную точку . Так как \BD = DC, четырёхугольник ABFC — параллелограмм (диагонали делятся точкой пересечения пополам). Следовательно:
(накрест лежащие при и секущей AF ).
По условию поэтому
Рассмотрим треугольники AOE и FOB:
(из равенства накрест лежащих углов).
Значит, по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как , то
Следовательно,
Длина BE известна: BE = 32. Учитывая, что BE = BO + OE = 3OE + OE = 4OE, находим:
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BOA ( ):
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE ():
Находим стороны треугольника ABC:
Таким образом, стороны треугольника равны
Ответ:
Теория
1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
2) Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих.
3) Если в треугольнике отрезок, выходящий из вершины, является одновременно высотой и биссектрисой, то треугольник — равнобедренный (признак).
4) В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
5) Признак подобия треугольников по двум углам — один из самых удобных в геометрических задачах.
6) При продлении медианы на её длину получается параллелограмм, что даёт равенство противоположных сторон и параллельность.
7) В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
8) Теорема Пифагора позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.
9) Часто в задачах полезно выражать отношения отрезков через подобие, а затем находить длины по известной сумме.
10) Комбинация свойств биссектрисы, медианы и перпендикулярности приводит к равнобедренным треугольникам и пропорциям.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий