В трапеции ABCD с основаниями BC и AD боковые стороны AB = 24 и CD = 25, а основание BC = 9.
Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.
Найдите площадь трапеции.
Показать решение
1. Введение обозначений
Пусть M — середина боковой стороны AB. Тогда
По условию задачи биссектриса угла ADC проходит через точку M. Следовательно, отрезок DM является биссектрисой
Продолжим отрезок DM до пересечения с прямой BC. Обозначим точку пересечения через P. Так как точка P лежит на продолжении BC за точку C (как будет видно из дальнейшего).
2. Равенство треугольников PBM и DAM
Рассмотрим треугольники PBM и DAM:
как накрест лежащие при (поскольку ) и секущей AB;
как вертикальные;
по построению точки M.
Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников получаем:
3. Свойство биссектрисы и равнобедренный треугольник
Так как DM — биссектриса, то
Из параллельности следует, что (накрест лежащие при секущей PD. Но (точка D общая). Таким образом,
Значит, в треугольнике PCD углы при вершинах P и D равны: . Следовательно, — равнобедренный с основанием PC, откуда
4. Нахождение длины основания AD
Из равенства BP = AD и того, что точка C лежит между B и P (так как PC = 25 > BC = 9), имеем:
Следовательно,
5. Построение вспомогательного отрезка и нахождение высоты
Проведём через точку C прямую, параллельную AB, до пересечения с основанием AD в точке E. Так как (поскольку ), четырёхугольник ABCE является параллелограммом. Отсюда:
Тогда
Рассмотрим треугольник CED. В нём известны три стороны:
Проверим соотношение:
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CED является прямоугольным с прямым углом при вершине E:
Следовательно, Так как , а отрезок CE перпендикулярен обоим основаниям трапеции, то есть является её высотой.
6. Вычисление площади трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Ответ:
Теория
1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
2) Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих.
3) Если в треугольнике отрезок, выходящий из вершины, является одновременно высотой и биссектрисой, то треугольник — равнобедренный (признак).
4) В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
5) Признак подобия треугольников по двум углам — один из самых удобных в геометрических задачах.
6) При продлении медианы на её длину получается параллелограмм, что даёт равенство противоположных сторон и параллельность.
7) В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
8) Теорема Пифагора позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.
9) Часто в задачах полезно выражать отношения отрезков через подобие, а затем находить длины по известной сумме.
10) Комбинация свойств биссектрисы, медианы и перпендикулярности приводит к равнобедренным треугольникам и пропорциям.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий