В трапеции углы при одном из оснований равны
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2.
Найдите основания трапеции.
Показать решение
1. Обозначения
Пусть ABCD — трапеция с основаниями . Углы при основании AD):
Обозначим BC = a, AD = b (a < b).
2. Продолжение боковых сторон
Продолжим AB и CD до пересечения в точке P.
Сумма углов треугольника:
Значит, — прямоугольный с прямым углом при P.
Треугольник PBC подобен ему (так как ), поэтому также прямоугольный с прямым углом при P.
3. Медианы в прямоугольных треугольниках
В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.
Пусть M — середина BC, N — середина AD. Тогда:
Точки P, M, N лежат на одной прямой, причём M находится между P и N (так как ). Следовательно:
4. Два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон
В трапеции есть два таких отрезка:
- Средняя линия (соединяет середины боковых сторон AB и CD):
- Отрезок, соединяющий середины оснований BC и AD:
.
По условию равны 6 и 2. Так как , получаем:
5. Нахождение оснований
Умножим оба уравнения на 2:
Складывая, находим 2b = 16 b = 8.
Вычитая, получаем 2a = 8 a = 4.
6. Проверка
Средняя линия:
Отрезок между серединами оснований:
Условие выполнено. Углы в сумме дают что обеспечивает прямоугольность треугольников PAD и PBC, откуда и следуют использованные свойства медиан.
Ответ:
Теория
1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
2) Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих.
3) Если в треугольнике отрезок, выходящий из вершины, является одновременно высотой и биссектрисой, то треугольник — равнобедренный (признак).
4) В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
5) Признак подобия треугольников по двум углам — один из самых удобных в геометрических задачах.
6) При продлении медианы на её длину получается параллелограмм, что даёт равенство противоположных сторон и параллельность.
7) В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
8) Теорема Пифагора позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.
9) Часто в задачах полезно выражать отношения отрезков через подобие, а затем находить длины по известной сумме.
10) Комбинация свойств биссектрисы, медианы и перпендикулярности приводит к равнобедренным треугольникам и пропорциям.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий