Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.
Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.
Показать решение
Для начала сделаем дополнительные построения: опустим из точки K перпендикуляр KH на сторону AB. Так как расстояние от точки K до стороны AB равно 10 , то есть
Проведём высоту параллелограмма MN к стороне BC, проходящую через точку K. Точка M лежит на стороне BC , точка N — на стороне AD. При этом , а так как то также.
Точка K лежит на биссектрисе угла A параллелограмма. Угол A образован сторонами AB и AD . Опустим из точки K перпендикуляр KN на сторону AD . Тогда:
— прямоугольный ( ),
— прямоугольный ),
, так как AK — биссектриса,
AK — общая гипотенуза.
Следовательно, прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников получаем:
Точка K лежит на биссектрисе угла B параллелограмма. Угол B образован сторонами AB и BC. Опустим из точки K перпендикуляр KM на сторону BC. Тогда:
— прямоугольный ( ),
— прямоугольный (,
, так как BK — биссектриса,
BK — общая гипотенуза.
Следовательно, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников получаем:
Высота MN , опущенная на сторону BC, складывается из отрезков KM и KN :
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию:
Ответ: 380.
Теория
1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
2) Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих.
3) Если в треугольнике отрезок, выходящий из вершины, является одновременно высотой и биссектрисой, то треугольник — равнобедренный (признак).
4) В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
5) Признак подобия треугольников по двум углам — один из самых удобных в геометрических задачах.
6) При продлении медианы на её длину получается параллелограмм, что даёт равенство противоположных сторон и параллельность.
7) В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
8) Теорема Пифагора позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.
9) Часто в задачах полезно выражать отношения отрезков через подобие, а затем находить длины по известной сумме.
10) Комбинация свойств биссектрисы, медианы и перпендикулярности приводит к равнобедренным треугольникам и пропорциям.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий