В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Показать решение
1) Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
2) У этих треугольников общее основание AD.
3) Высоты, опущенные из вершин B и C на прямую AD, равны между собой, так как они представляют собой расстояние между параллельными прямыми AD и BC (основаниями трапеции).
4) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как основания и высоты равны, то и площади треугольников равны:
5) Треугольник ABD состоит из двух частей: треугольника AOB и треугольника AOD.
6) Треугольник ACD также состоит из двух частей: треугольника COD и треугольника AOD.
7) Так как можем записать:
8) Вычтем из обеих частей равенства площадь треугольника AOD:
Ответ: Доказано.
Теория
1. Алгоритм решения
1) Внимательное чтение: Выпишите краткое условие и то, что требуется найти.
2) Чертёж: Сделайте качественный рисунок. Отметьте все равные углы, стороны и известные величины.
3) Поиск идеи:
- Если нужно доказать равенство отрезков/углов, то ищи равенство треугольников или свойства равнобедренного треугольника.
- Если нужно доказать перпендикулярность/параллельность, то ищи суммы углов, признаки параллельности или свойства касательных.
- Если нужно доказать отношение отрезков, ищи подобие треугольников, теорему Фалеса или свойство биссектрисы.
4) Дополнительные построения: Часто решение скрыто за проведением высоты, медианы, радиуса в точку касания или продолжением сторон.
2. Ключевые методы доказательства
Треугольники
Равенство: Используй признаки (по двум сторонам и углу, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам).
Подобие: Самый частый метод. Ищи равные углы (вертикальные, накрест лежащие, вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Замечательные линии:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Высота создает прямоугольные треугольники (метод подобия).
Окружности
Касательная: Всегда проводи радиус в точку касания, тогда получится прямой угол
Хорды: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Углы: Вписанный угол равен половине центрального. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Четырёхугольники
- Параллелограмм: Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Трапеция: Часто проводятся высоты или линии, параллельные боковым сторонам (для сведения к треугольникам).
- Вписанная окружность: Центр лежит на пересечении биссектрис углов.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий