Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.
Показать решение
1) Обозначим центры окружностей как I и J. Пусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B.
2) Пусть точка пересечения прямой AB и отрезка IJ есть точка M.
3) Согласно условию задачи, точка M делит отрезок IJ в отношении m : n, то есть
4) Проведем радиусы IA и JB к точкам касания. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно,
5) Рассмотрим прямоугольные треугольники
- У них есть по прямому углу
- Углы равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
6) Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих катетов и гипотенуз:
7) Подставим известное отношение:
8) IA и JB — это радиусы окружностей (
Отношение радиусов равно
Диаметр окружности равен двум радиусам (D = 2R).
9) Найдем отношение диаметров
10) Таким образом, диаметры относятся как m : n.
Ответ: Доказано.
Теория
1. Алгоритм решения
1) Внимательное чтение: Выпишите краткое условие и то, что требуется найти.
2) Чертёж: Сделайте качественный рисунок. Отметьте все равные углы, стороны и известные величины.
3) Поиск идеи:
- Если нужно доказать равенство отрезков/углов, то ищи равенство треугольников или свойства равнобедренного треугольника.
- Если нужно доказать перпендикулярность/параллельность, то ищи суммы углов, признаки параллельности или свойства касательных.
- Если нужно доказать отношение отрезков, ищи подобие треугольников, теорему Фалеса или свойство биссектрисы.
4) Дополнительные построения: Часто решение скрыто за проведением высоты, медианы, радиуса в точку касания или продолжением сторон.
2. Ключевые методы доказательства
Треугольники
Равенство: Используй признаки (по двум сторонам и углу, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам).
Подобие: Самый частый метод. Ищи равные углы (вертикальные, накрест лежащие, вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Замечательные линии:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Высота создает прямоугольные треугольники (метод подобия).
Окружности
Касательная: Всегда проводи радиус в точку касания, тогда получится прямой угол
Хорды: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Углы: Вписанный угол равен половине центрального. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Четырёхугольники
- Параллелограмм: Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Трапеция: Часто проводятся высоты или линии, параллельные боковым сторонам (для сведения к треугольникам).
- Вписанная окружность: Центр лежит на пересечении биссектрис углов.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий