Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Показать решение
1) Пусть центры окружностей — точки P и Q. Пусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке K, а второй — в точке L.
2) Пусть точка пересечения прямой KL (касательной) и отрезка PQ (линии центров) — это точка O.
3) По условию, точка O делит отрезок PQ в отношении a : b, то есть
4) Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной. Значит, и
5) Рассмотрим треугольники
Следовательно, треугольникиподобны по двум углам.
6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
7) PK и QL — это радиусы окружностей
8) Диаметры окружностей равны
9) Найдем отношение диаметров:
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Теория
1. Алгоритм решения
1) Внимательное чтение: Выпишите краткое условие и то, что требуется найти.
2) Чертёж: Сделайте качественный рисунок. Отметьте все равные углы, стороны и известные величины.
3) Поиск идеи:
- Если нужно доказать равенство отрезков/углов, то ищи равенство треугольников или свойства равнобедренного треугольника.
- Если нужно доказать перпендикулярность/параллельность, то ищи суммы углов, признаки параллельности или свойства касательных.
- Если нужно доказать отношение отрезков, ищи подобие треугольников, теорему Фалеса или свойство биссектрисы.
4) Дополнительные построения: Часто решение скрыто за проведением высоты, медианы, радиуса в точку касания или продолжением сторон.
2. Ключевые методы доказательства
Треугольники
Равенство: Используй признаки (по двум сторонам и углу, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам).
Подобие: Самый частый метод. Ищи равные углы (вертикальные, накрест лежащие, вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Замечательные линии:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Высота создает прямоугольные треугольники (метод подобия).
Окружности
Касательная: Всегда проводи радиус в точку касания, тогда получится прямой угол
Хорды: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Углы: Вписанный угол равен половине центрального. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Четырёхугольники
- Параллелограмм: Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Трапеция: Часто проводятся высоты или линии, параллельные боковым сторонам (для сведения к треугольникам).
- Вписанная окружность: Центр лежит на пересечении биссектрис углов.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий