Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
Показать решение
1) Рассмотрим окружность с центром M. Радиусы, проведенные в точки пересечения S и T, равны: MS = MT.
2) Треугольник MST — равнобедренный с основанием ST. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Однако нам проще использовать свойство равноудаленности. Точка M равноудалена от S и T.
3) Рассмотрим окружность с центром N. Радиусы, проведенные в точки пересечения S и T, равны: NS = NT.
4) Точка N также равноудалена от S и T.
5) Прямая, проходящая через две точки (M и N), каждая из которых равноудалена от концов отрезка (S и T), является серединным перпендикуляром к этому отрезку.
6) Значит, прямая MN перпендикулярна прямой ST.
Ответ: Доказано.
Теория
1. Алгоритм решения
1) Внимательное чтение: Выпишите краткое условие и то, что требуется найти.
2) Чертёж: Сделайте качественный рисунок. Отметьте все равные углы, стороны и известные величины.
3) Поиск идеи:
- Если нужно доказать равенство отрезков/углов, то ищи равенство треугольников или свойства равнобедренного треугольника.
- Если нужно доказать перпендикулярность/параллельность, то ищи суммы углов, признаки параллельности или свойства касательных.
- Если нужно доказать отношение отрезков, ищи подобие треугольников, теорему Фалеса или свойство биссектрисы.
4) Дополнительные построения: Часто решение скрыто за проведением высоты, медианы, радиуса в точку касания или продолжением сторон.
2. Ключевые методы доказательства
Треугольники
Равенство: Используй признаки (по двум сторонам и углу, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам).
Подобие: Самый частый метод. Ищи равные углы (вертикальные, накрест лежащие, вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Замечательные линии:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Высота создает прямоугольные треугольники (метод подобия).
Окружности
Касательная: Всегда проводи радиус в точку касания, тогда получится прямой угол
Хорды: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Углы: Вписанный угол равен половине центрального. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Четырёхугольники
- Параллелограмм: Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Трапеция: Часто проводятся высоты или линии, параллельные боковым сторонам (для сведения к треугольникам).
- Вписанная окружность: Центр лежит на пересечении биссектрис углов.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий