Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Показать решение
1) Обозначим основания трапеции как AD и BC, высоту трапеции как h. Площадь трапеции:
2) Трапеция состоит из трёх треугольников:
3) Точка K является серединой стороны CD. Поскольку основания AD и BC параллельны, расстояние от середины боковой стороны до каждого из оснований одинаково и равно половине высоты трапеции.
4) Обозначим расстояние от K до AD как а от K до BC как Тогда
5) Найдём площадь треугольника ADK:
6) Найдём площадь треугольника BCK:
7) Сумма площадей этих треугольников:
8) Выразим площадь трапеции через эту сумму:
9) Площадь треугольника KAB равна разности площади всей трапеции и суммы площадей боковых треугольников:
Ответ: Доказано.
Теория
1. Алгоритм решения
1) Внимательное чтение: Выпишите краткое условие и то, что требуется найти.
2) Чертёж: Сделайте качественный рисунок. Отметьте все равные углы, стороны и известные величины.
3) Поиск идеи:
- Если нужно доказать равенство отрезков/углов, то ищи равенство треугольников или свойства равнобедренного треугольника.
- Если нужно доказать перпендикулярность/параллельность, то ищи суммы углов, признаки параллельности или свойства касательных.
- Если нужно доказать отношение отрезков, ищи подобие треугольников, теорему Фалеса или свойство биссектрисы.
4) Дополнительные построения: Часто решение скрыто за проведением высоты, медианы, радиуса в точку касания или продолжением сторон.
2. Ключевые методы доказательства
Треугольники
Равенство: Используй признаки (по двум сторонам и углу, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам).
Подобие: Самый частый метод. Ищи равные углы (вертикальные, накрест лежащие, вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Замечательные линии:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Высота создает прямоугольные треугольники (метод подобия).
Окружности
Касательная: Всегда проводи радиус в точку касания, тогда получится прямой угол
Хорды: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Углы: Вписанный угол равен половине центрального. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Четырёхугольники
- Параллелограмм: Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Трапеция: Часто проводятся высоты или линии, параллельные боковым сторонам (для сведения к треугольникам).
- Вписанная окружность: Центр лежит на пересечении биссектрис углов.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий