Прочитайте текст и выполните задания.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать
по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново
до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино
и по шоссе от Жилино до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.
Задание №1. Впишите правильный ответ.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Задание №2. Впишите правильный ответ.
Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте
в километрах.
Задание №3. Впишите правильный ответ.
Найдите расстояние от Антоновки до Горюново по прямой. Ответ дайте
в километрах.
Задание №4. Впишите правильный ответ.
Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки
в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?
Задание №5. Впишите правильный ответ.
На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует
на просёлочных дорогах?
Показать решение
Анализ расстояний и расположения деревень
Сначала восстановим карту расстояний, исходя из текста:
1) Горизонтальная дорога (Шоссе)
- Антоновка (1) - начало.
- Доломино (3): Расстояние от Антоновки (1) до Доломино (3)
- Егорка (2): Расстояние от Доломино (3) до Егорки (2) Так как на плане порядок 1-2-3-4, а расстояние 1-3 больше, чем 1-2, то Егорка находится между Антоновкой и Доломино.
Значит, расстояние- Ванютино (4): Расстояние от Егорки (2) до Ванютино (4)
- Общее расстояние по горизонтали (1 - 4) =
Вертикальная дорога (Шоссе):
- Ванютино (4) - угол поворота.
- Жилино (5) - Расстояние от Ванютино (4) до Жилино (5)
- Горюново (6): Расстояние от Ванютино (4) до Горюново (6)
Значит, расстояние
- Богданово (7): Расстояние от Жилино (5) до Богданово (7)
Значит, расстояние
Общее расстояние по вертикали
Задание №1. Определение цифр
Сопоставим названия с цифрами на плане:
1 - Антоновка (по условию)
4 - Ванютино (поворот под прямым углом)
7 - Богданово (конечная точка вертикального шоссе)
2 - Егорка (между 1 и 3)
3 - Доломино (между 2 и 4)
5 - Жилино (между 4 и 6)
6 - Горюново (между 5 и 7)
Ответ: 4625
Задание №2. Расстояние от Антоновки до Егорки}
Мы выяснили в анализе, что Егорка (2) находится между Антоновкой (1) и Доломино (3).
- Расстояние 1 - 3 = 12 км.
- Расстояние 3 - 2 = 4 км.
- Расстояние 1 - 2 = 12 - 4 = 8 км.
Ответ: 8
Задание №3. Расстояние от Антоновки до Горюново по прямой
Это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты - это отрезки шоссе до перекрестка у Горюново.
Горизонтальный катет (от Антоновки 1 до угла Ванютино 4):
Вертикальный катет (от Ванютино 4 до Горюново 6):
По теореме Пифагора:
Ответ: 25
Задание №4. Время в пути мимо пруда через Горюново
Маршрут: Антоновка (1) - Горюново (6) - Богданово (7).
Участок 1 - 6 (просёлочная дорога):}
Расстояние мы нашли в задании №3:
Скорость: 30 км/ч.
Время
В минутах:
Участок 6 - 7 (шоссе):
Расстояние: мы выяснили, что 4- равно 15, а 5-7 равно 12 (где 4 - 5 равно 9). Значит, 6 находится на 15 км от 4, а 7 на 21 км от 4.
Расстояние 6 - 7 = 21 - 15 =
Скорость: 50 км/ч.
Время
В минутах:
Общее время:
Ответ: 57,2
Задание №5. Расход бензина на просёлочных дорогах
Сравниваем два маршрута. Расход на шоссе . Расход на просёлке
Маршрут 1: Через Ванютино (всё шоссе)
Путь: 1 - 4 - 7.
Расстояние:
Бензин:
Маршрут 2: Через Доломино и Горюново мимо конюшни
Путь: 1 - 3 (шоссе) - 6 (просёлок) - 7 (шоссе).
Участок 1 - 3 (шоссе):} 12 км.
Участок 3 - 6 (просёлок):
Это гипотенуза треугольника с катетами:
Горизонталь (3 - 4): 20 - 12 = 8 км.
Вертикаль (4- 6): 15 км.
Расстояние:
Участок 6 - 7 (шоссе): 6 км.
Итого шоссе: 12 + 6 = 18 км.
Итого просёлок: 17 км.
Бензин:
Уравнение
Умножим на 100:
Ответ: 9,2
Теория
Теорема Пифагора:
В задачах на планы часто встречаются ``пифагоровы тройки'' (целые числа): (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (20, 21, 29). Знание их ускоряет решение.
Формула времени:
Чтобы перевести часы в минуты, умножаем на 60.
Принцип составления уравнения:
Если в задаче сказано, что ресурсы (бензин, время) равны для разных путей, приравниваем выражения для этих ресурсов.
Координатный метод:
Удобно представить перекресток (Ванютино) как начало координат (0,0), тогда остальные точки имеют координаты (x, 0) или (0, y), что упрощает поиск расстояний.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий