Урок 3.1. Формулы квадрата суммы и квадрата разности

В этом уроке разберём, как раскрывать скобки с помощью формул сокращённого умножения (ФСУ) и выполнять обратное преобразование — сворачивать выражение в полный квадрат. Эти приёмы помогают упрощать буквенные выражения в задании №8 ОГЭ.

Если в условии даны дроби, корни или неудобные для вычислений числа, не спеши подставлять их. Сначала упрости выражение, затем подставь значения: часть слагаемых может сократиться, а вычисления станут короче.

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго:

Вместо и могут стоять числа, переменные или более сложные выражения. Например, для первое выражение — , а второе — .

Как свернуть выражение в полный квадрат

Формулы можно применять и справа налево. Если в выражении есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение, его можно записать как квадрат суммы или разности:

Например, в выражении замечаем: , а . Значит, .

Типичные ошибки

• Пропускают удвоенное произведение. Нельзя раскрывать как : правильный результат — .
• Не возводят коэффициент в квадрат. Например, , а не .
• Ставят минус перед квадратом второго выражения. В формуле последнее слагаемое записывается со знаком плюс.
• Неверно раскрывают скобки, перед которыми стоит минус. В выражении сначала применяем формулу, сохраняя скобки, а затем меняем знаки всех слагаемых:

Пример 1. Упрощение перед подстановкой дроби

Найдём значение выражения при .

1. Раскрываем квадрат разности:

1. Раскрываем вторые скобки с учётом минуса:

1. Собираем выражение и приводим подобные слагаемые:

1. Подставляем значение :

Ответ: .

Пример 2. Минус перед квадратом разности

Найдём значение выражения при .

1. Применяем обе формулы. Результат раскрытия второго квадрата оставляем в скобках, так как перед ним стоит минус:

1. Раскрываем скобки, меняя знаки всех слагаемых во вторых скобках:

1. Приводим подобные слагаемые. Квадраты и свободные члены сокращаются:

1. Подставляем значение :

Ответ: .

Пример 3. Выражение с двумя переменными

Найдём значение выражения при .

1. Раскрываем квадрат суммы. Не забываем возвести в квадрат коэффициент :

1. Раскрываем вторые скобки с учётом минуса:

1. Приводим подобные слагаемые:

1. Подставляем значение :

Ответ: .

Значение для решения не понадобилось: все слагаемые с этой переменной сократились. После упрощения выражение зависит только от .

Пример 4. Сворачивание в полный квадрат

Найдём значение выражения при .

1. Представляем выражение в виде развёрнутой формулы квадрата суммы:

1. Сворачиваем его в полный квадрат:

1. Подставляем значение и вычисляем:

Ответ: .

Пример 5. Значение переменной не требуется

Найдём значение выражения при .

1. Раскрываем квадрат разности:

1. Записываем выражение целиком:

1. Приводим подобные слагаемые:

Ответ: .

Все слагаемые с сократились, поэтому подставлять не нужно. При любом значении исходное выражение равно .

Что запомнить

• При раскрытии квадрата суммы или разности обязательно записывай удвоенное произведение.
• Возводи в квадрат всё выражение, включая числовой коэффициент.
• Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри них.
• Используй формулы в обе стороны: для раскрытия скобок и для сворачивания выражения в полный квадрат.