Урок 1.1. Свойства степеней с натуральным показателем

В этом уроке разберём умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Эти свойства помогут упрощать числовые и буквенные выражения в задании №8 ОГЭ.

Что такое степень

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен :

Здесь — основание степени, а — показатель степени. Например, .

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают:

Это следует из определения степени: в первом произведении множителей, равных , а во втором — ещё . Всего получается таких множителей.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

В этом уроке рассматриваем случаи, когда и — натуральные числа и , поэтому разность показателей тоже натуральная. Условие обязательно: на ноль делить нельзя.

Как упрощать выражения со степенями

В одном выражении могут встречаться и умножение, и деление степеней. Если выражение записано в виде дроби, удобно действовать так:

1. Упростить числитель, складывая показатели степеней с одинаковыми основаниями.
2. Так же упростить знаменатель.
3. Выполнить деление: вычесть из показателя числителя показатель знаменателя.
4. Вычислить значение полученной степени.

Пример 1. Умножение и деление степеней

Вычислим значение выражения:

1. В числителе умножаем степени с одинаковым основанием , поэтому складываем показатели: .
2. Делим степени с одинаковым основанием: .
3. Вычисляем: .

Ответ: .

Пример 2. Выражение с переменной

Найдём значение выражения при :

1. Сначала упростим буквенное выражение. В числителе складываем показатели: .
2. При делении вычитаем показатели: .
3. Подставляем : .

Ответ: .

Пример 3. Первая степень

Найдём значение выражения:

1. Упрощаем числитель: .
2. Выполняем деление: .
3. Используем правило первой степени: .

Ответ: .

Пример 4. Степень в степени

Вычислим значение выражения при :

Здесь понадобится ещё одно свойство: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Для натуральных и :

В нашем примере это можно объяснить уже знакомым правилом: .

1. Упрощаем числитель: .
2. Выполняем деление: .
3. Подставляем : .

Ответ: .

Пример 5. Произведения в числителе и знаменателе

Найдём значение выражения:

1. Упрощаем числитель: .
2. Упрощаем знаменатель: .
3. Выполняем деление: .
4. Вычисляем: .

Ответ: .

Что нужно запомнить

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают: .
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают: , где и в рассмотренных случаях .
• При возведении степени в степень показатели перемножают: .
• Первая степень числа равна самому числу: .