0 из 13

Урок 2.1. Понятие корня и базовое тождество

В этом уроке разберём, что такое арифметический квадратный корень и чем отличаются квадрат корня и корень из квадрата. Эти свойства помогут упрощать числовые и алгебраические выражения в задании №8 ОГЭ.

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

Число под знаком корня не может быть отрицательным. Результат извлечения арифметического квадратного корня также всегда неотрицателен.

Пример , потому что и . Число не является арифметическим квадратным корнем из , хотя .

Квадрат корня

Если арифметический квадратный корень возвести в квадрат, получится подкоренное число:

Например, . Вычислять приближённое значение для этого не нужно.

Корень из квадрата

Если квадрат находится под знаком корня, результат равен модулю числа:

Это тождество верно при любом действительном . Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому корень из него определён.

  • Если , то .
  • Если , то : знак числа меняется на противоположный, чтобы результат стал положительным.
Важно Корень из квадрата — это модуль числа, а не обязательно само число. Например, , а не .
На экзамене Сначала посмотри, где стоит квадрат: снаружи корня или под ним. В первом случае используй при , во втором — .

Пример 1. Квадрат корня

Вычислите значение выражения:

  1. Применяем базовое тождество: .
  2. Выполняем вычитание: .

Ответ: .

Пример 2. Корень из квадрата переменной

Найдите значение выражения:

1. Применяем тождество

2. Подставляем : . Получаем

Ответ: .

Пример 3. Корень из степени

Вычислите значение выражения:

  1. Представляем степень под корнем в виде квадрата:
  2. Применяем тождество: 

Ответ: .

Совет Если под корнем стоит степень с чётным показателем, попробуй представить её как квадрат. Например, .

Пример 4. Коэффициент перед квадратом корня

Найдите значение выражения:

  1. Применяем тождество: .
  2. Умножаем на коэффициент: .

Ответ: .

Задачи по теме

Задача 1

Вычислите значение выражения:

Показать решение

1. Квадрат арифметического квадратного корня равен подкоренному числу. Поэтому:

2. Выполняем вычитание:

Ответ: 8.

Задача 2

Найдите значение выражения при .

Показать решение

1. Корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

2. Подставляем заданное значение переменной. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:

3. Складываем полученные значения:

Ответ: −18.

Задача 3

Вычислите значение выражения с помощью свойств степеней и корней:

Показать решение

1. Представляем степень под корнем как квадрат:

2. Используем тождество для корня из квадрата:

3. Число под знаком модуля положительно, поэтому модуль равен самому числу:

Ответ: 16.

Задача 4

Найдите значение выражения:

Показать решение

1. Возведение арифметического квадратного корня в квадрат даёт подкоренное число:

2. Умножаем результат на коэффициент. Умножение на 0,2 равносильно делению на 5:

Ответ: 9.

Задача 5

Найдите значение выражения при .

Показать решение

1. Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения:

2. Подставляем значение переменной и вычисляем разность внутри модуля:

3. Модуль числа −4 равен 4. Прибавляем значение переменной:

Ответ: 7.

Задача 6

Вычислите значение выражения:

Показать решение

1. При возведении произведения в квадрат возводим в квадрат каждый множитель:

2. Квадрат числа −2 равен 4, а квадрат арифметического квадратного корня из 5 равен 5:

3. Перемножаем результаты:

Ответ: 20.

Задача 7

Найдите значение выражения при .

Показать решение

1. Заменяем корень из квадрата модулем:

2. Подставляем заданное значение переменной:

3. Модуль числа −3 равен 3. Произведение 5 и −3 равно −15, поэтому вычитание этого произведения превращается в прибавление:

Ответ: 18.

Задача 8

Вычислите значение числового выражения:

Показать решение

1. Представляем степень в первом слагаемом как квадрат и извлекаем корень:

Модуль равен 25, поскольку число под знаком модуля положительно.

2. Во втором слагаемом квадрат корня равен подкоренному числу:

3. Складываем значения слагаемых:

Ответ: 36.

Задача 9

Найдите значение выражения при .

Показать решение

1. Применяем тождество для корня из квадрата выражения:

2. Подставляем значение переменной и вычисляем сумму внутри модуля:

3. Модуль числа −5 равен 5. При вычитании отрицательного числа прибавляем противоположное ему число:

Ответ: 14.

Задача 10

Вычислите значение выражения:

Показать решение

1. Квадрат арифметического квадратного корня равен подкоренному числу:

2. Вычисляем квадрат отрицательного числа. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

3. Выполняем вычитание:

Ответ: 28.

Урок 1.4. Практикум по ФИПИ: степениУрок 2.2. Умножение и деление арифметических квадратных корней