Урок 5.2. Отрицательная степень

1. Теоретический блок

В задании №6 ОГЭ встречаются степени не только с положительными, но и с отрицательными показателями. Отрицательный показатель не означает, что значение степени отрицательное: например, .

Разберёмся, как вычислять такие степени и применять к ним уже знакомые свойства.

Главное правило отрицательной степени

Чтобы возвести ненулевое число в степень с отрицательным целым показателем, нужно разделить единицу на это число в соответствующей положительной степени:

Например:

Если основание — обыкновенная дробь, можно поменять местами её числитель и знаменатель, а показатель сделать положительным:

Отрицательные степени числа 10

Степени десятки удобно записывать в виде десятичных дробей. У числа единица стоит на -м месте после запятой:

• .
• .
• .
• .

Свойства степеней с отрицательными показателями

Все свойства из урока 5.1 работают и для отрицательных целых показателей. Для и целых , :

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: .
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: .

Если после упрощения показатель оказался равен нулю, используй правило при . Например, .

2. Разбор примеров

Пример 1. Умножение степеней с отрицательными показателями

Найдите значение выражения . Результат запишите в виде десятичной дроби.

1. Основания одинаковые, поэтому показатели складываем:

1. Вычисляем показатель: .
2. Записываем результат в виде десятичной дроби:

Ответ: .

Пример 2. Деление степеней с отрицательными показателями

Найдите значение выражения .

1. При делении степеней с одинаковыми основаниями вычитаем показатель знаменателя из показателя числителя:

1. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением:

1. Вычисляем: .

Ответ: .

Пример 3. Отрицательная степень обыкновенной дроби

Найдите значение выражения .

1. Переворачиваем дробь и меняем знак показателя:

1. Возводим в квадрат и числитель, и знаменатель:

1. Переводим в десятичную дробь: .

Ответ: .

Пример 4. Отрицательная степень десятичной дроби

Найдите значение выражения .

1. Представляем десятичную дробь в виде обыкновенной:

1. Применяем правило отрицательной степени:

1. Вычисляем: .

Ответ: .

Пример 5. Возведение степени в степень

Найдите значение выражения .

1. При возведении степени в степень перемножаем показатели:

1. При умножении степеней складываем показатели:

1. Вычисляем:

Ответ: .

Пример 6. Отрицательное основание и отрицательный показатель

Найдите значение выражения .

1. По правилу отрицательной степени:

1. Показатель нечётный, поэтому .
2. Получаем: .

Ответ: .

Значение получилось отрицательным из-за отрицательного основания и нечётного показателя, а не из-за минуса в показателе. Для сравнения: .

3. Проверь себя

Вычисли, сначала упрощая степени:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

Ответы для проверки:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

Главное из урока

• Отрицательная степень означает переход к обратному числу: .
• Дробь при отрицательном показателе можно перевернуть, заменив показатель положительным.
• Свойства степеней сохраняются: при умножении показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем.
• Внимательно работаем со знаками и помним: основание отрицательной степени не может быть равно нулю.