0 из 24

Урок 3.1. Сложение и вычитание десятичных дробей

В этом уроке разберём, как складывать и вычитать десятичные дроби в столбик. Научимся работать с числами, у которых разное количество знаков после запятой, и занимать единицу через нули.

1. Теоретический блок

Десятичная дробь — это способ записи дроби со знаменателем , , и так далее. Запятая отделяет целую часть от дробной: например, .

Первый разряд после запятой — десятые, второй — сотые, третий — тысячные. При сложении и вычитании нужно выполнять действия с одинаковыми разрядами: десятыми с десятыми, сотыми с сотыми.

Важно Главное правило записи в столбик: запятая строго под запятой. Тогда одинаковые разряды окажутся друг под другом.

Пошаговый алгоритм

Уравняй количество знаков после запятой: при необходимости припиши справа нули к дробной части. Значение числа от этого не изменится.
Запиши числа в столбик: единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми.
Выполни сложение или вычитание справа налево, как с целыми числами. При необходимости переноси единицу в следующий разряд или занимай её у старшего разряда.
Поставь запятую в ответе точно под запятыми исходных чисел.

Пример Чтобы сложить и , удобно сначала записать . Теперь у обоих чисел по два знака после запятой.

Совет Целое число тоже можно записать с дробной частью из нулей: . Это удобно при вычитании десятичной дроби из целого числа.

2. Разбор примеров

Пример 1. Сложение дробей с разным количеством знаков

Найди значение выражения .

Допишем ноль к дробной части второго числа: .
Запишем числа в столбик и сложим сотые: .
Сложим десятые: . Запишем в разряде десятых, а перенесём в разряд единиц.
Сложим единицы с учётом переноса: . Поставим запятую под запятыми.

Ответ: .

Пример 2. Вычитание с добавлением нуля

Найди значение выражения .

Уравняем количество знаков после запятой: .
В разряде сотых меньше . Займём одну десятую: она равна сотым. Получим сотых.
В разряде десятых осталось . Займём одну единицу у целой части: это десятых. Получим десятых.
В целой части осталось единиц: . Поставим запятую под запятыми.

Ответ: .

Проверим результат сложением: . Значит, вычитание выполнено верно.

Пример 3. Сложение с переходом через единицу

Найди значение выражения .

Количество знаков после запятой одинаковое, поэтому дописывать нули не нужно.
Сложим сотые: . Запишем , а десятую перенесём в следующий разряд.
Сложим десятые с учётом переноса: . Запишем в разряде десятых, а единицу перенесём в целую часть.
Сложим единицы: . Поставим запятую под запятыми.

Ответ: .

Важно При сложении двух чисел, каждое из которых меньше единицы, результат может быть больше единицы. Не забывай учитывать перенос в целую часть.

Пример 4. Вычитание из целого числа

Найди значение выражения .

Запишем целое число в виде десятичной дроби: . Здесь для вычитания сотых придётся занять единицу через ноль в разряде десятых.

Займём одну единицу у : в целой части останется , а в разряде десятых получим .
Из этих десятых одну переведём в сотые. Теперь у нас десятых и сотых.
Вычтем сотые: . Затем десятые: .
Вычтем единицы: . Поставим запятую под запятыми.

Ответ: .

3. Частые ошибки и проверка

Выравнивать числа по последней цифре, а не по запятой. Например, при сложении и цифра должна стоять над , потому что обе обозначают десятые.
Дописывать нули не справа, а внутри дробной части. Записи и обозначают одно число, а — другое.
Забывать о переносе при сложении. Перенесённую единицу нужно прибавить в следующем разряде.
Забывать уменьшить разряд, у которого заняли единицу при вычитании.

Совет Проверяй вычитание сложением: прибавь вычитаемое к полученной разности. Должно получиться исходное уменьшаемое.

На экзамене Перед записью ответа прикинь результат. Например, — это примерно , поэтому ответ выглядит правдоподобно, а — нет.

4. Попробуй самостоятельно

Вычисли в столбик. Сначала реши все примеры, затем сверься с ответами.

Ответы для самопроверки

Коротко о главном

Складывай и вычитай одинаковые разряды, записывая запятую под запятой. Если знаков после запятой не хватает, допиши нули справа, а после вычисления проверь переносы, заимствования и положение запятой.

Задачи по теме

Задача 1

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Уравняем количество знаков после запятой: . Запишем числа в столбик так, чтобы запятые находились друг под другом.

2. Складываем справа налево. В разряде сотых получаем , в разряде десятых — .

3. Складываем единицы: . Ставим запятую под запятыми исходных чисел. Получаем .

Ответ: 8,61.

Задача 2

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Допишем ноль справа в дробной части уменьшаемого: . При записи в столбик расположим запятую под запятой.

2. Из нуля сотых нельзя вычесть 5 сотых без заимствования. Займём одну десятую: в разряде десятых останется 5, а в разряде сотых получится 10. Вычитаем сотые: .

3. Вычитаем десятые: . Затем единицы: . Получаем .

Ответ: 4,35.

Задача 3

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Представим второе слагаемое с двумя знаками после запятой: . Запишем одинаковые разряды друг под другом.

2. Складываем сотые: . Складываем десятые: . Пишем 1 в разряде десятых, а одну единицу переносим в разряд единиц.

3. Складываем единицы с учётом переноса: . В разряде десятков остаётся 1. Ставим запятую под запятыми: .

Ответ: 14,15.

Задача 4

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Уравняем количество знаков после запятой: . Запишем числа в столбик, совместив запятые.

2. Для вычитания сотых займём одну десятую. В разряде десятых останется 4, а в разряде сотых будет 10. Получаем сотых.

3. Вычитаем десятые с учётом заимствования: . Вычитаем единицы: . Итак, .

Ответ: 3,33.

Задача 5

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Допишем ноль в дробной части второго числа: . Запишем числа так, чтобы сотые находились под сотыми, десятые — под десятыми, единицы — под единицами.

2. Складываем сотые: . В разряде десятых получаем . Пишем 0 в разряде десятых, а одну единицу переносим в целую часть.

3. Складываем единицы с учётом переноса: . Получаем . Ноль в разряде десятых сохраняем: он показывает, что в дробной части 8 сотых, а не 8 десятых.

Ответ: 3,08.

Задача 6

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Запишем уменьшаемое с двумя знаками после запятой: . Расположим запятые друг под другом.

2. Займём одну десятую для вычитания сотых. В разряде десятых останется 0, а сотых станет 10. Вычитаем: .

3. Теперь для вычитания 3 десятых займём одну единицу у целой части. В целой части останется 3 единицы, а десятых станет 10. Получаем десятых.

4. Вычитаем единицы: . Следовательно, .

Ответ: 3,78.

Задача 7

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. У обоих слагаемых по два знака после запятой. Дописывать нули не нужно. Запишем числа в столбик, расположив запятые друг под другом.

2. Складываем сотые: . Пишем 0 в разряде сотых и переносим одну десятую в следующий разряд.

3. Складываем десятые с учётом переноса: . Пишем 1 в разряде десятых и переносим одну единицу в целую часть.

4. В разряде единиц получаем . В разряде десятков остаётся 1. Получаем . Последний ноль дробной части можно отбросить.

Ответ: 16,1.

Задача 8

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Представим целое число в виде десятичной дроби: . Запишем вычитание в столбик, совместив запятые.

2. В разрядах сотых и десятых уменьшаемого стоят нули. Займём одну единицу у целой части: останется 5 единиц, а десятых станет 10. Одну из этих десятых передадим в разряд сотых. Теперь у нас 5 единиц, 9 десятых и 10 сотых.

3. Вычитаем сотые: . Вычитаем десятые: . Вычитаем единицы: .

4. Ставим запятую под запятыми исходных чисел: .

Ответ: 3,86.

Задача 9

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Уравняем количество знаков после запятой: . При записи в столбик расположим одинаковые разряды друг под другом.

2. Складываем сотые: . Складываем десятые: . Пишем 2 в разряде десятых, а одну единицу переносим в целую часть.

3. Складываем единицы с учётом переноса: . Это 1 десяток и 3 единицы. Ставим запятую под запятыми: .

Ответ: 13,28.

Задача 10

Найдите значение выражения .

Показать решение

1. Допишем ноль справа в дробной части уменьшаемого: . Запишем числа в столбик, расположив запятые друг под другом.

2. Займём одну десятую для вычитания сотых. В разряде десятых останется 0, а сотых станет 10. Получаем сотых.

3. Для вычитания десятых нужно заимствование, но в разряде единиц стоит 0. Займём один десяток и превратим его в 10 единиц. Одну единицу передадим в разряд десятых. Останется 9 единиц, а десятых станет 10. Вычитаем десятые: .

4. Вычитаем единицы: . В разряде десятков ничего не осталось. Получаем .

Ответ: 1,65.

Урок 2.4. Многоэтажные дроби Урок 3.2. Умножение десятичных дробей