0 из 24

Урок 1.1. Основное свойство дроби

В этом уроке разберём, как изменять запись дроби, не меняя её значения. Научимся сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю — эти умения понадобятся при сложении и вычитании.

1. Теоретический блок

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя:

  • Знаменатель записывают снизу: он показывает, на сколько равных частей разделили целое.
  • Числитель записывают сверху: он показывает, сколько таких частей взяли.

Например, дробь означает, что целое разделили на четыре равные части и взяли три из них. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Основное свойство дроби

Важно Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится. При сокращении выбирают общий делитель числителя и знаменателя.

Здесь , — натуральное число, а — общий натуральный делитель числителя и знаменателя. На этом свойстве основаны два действия: сокращение дроби и приведение её к новому знаменателю.

Сокращение дроби

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, больший . Числа становятся меньше, а значение дроби остаётся прежним.

Пример Сократим дробь . Числа и делятся на , поэтому

У чисел и нет общего натурального делителя, кроме . Значит, дробь — несократимая.

Приведение дроби к новому знаменателю

Чтобы привести дробь к знаменателю, кратному исходному, числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель. Его находят делением нового знаменателя на старый.

  1. Раздели новый знаменатель на старый.
  2. Умножь числитель и знаменатель на полученный дополнительный множитель.
  3. Запиши равную исходной дробь с новым знаменателем.
Пример Приведём дробь к знаменателю . Дополнительный множитель равен , поэтому
Важно Менять только знаменатель нельзя: чтобы сохранить значение дроби, нужно умножить числитель на тот же множитель.

2. Разбор примеров из банка ФИПИ

Пример 1. Сокращение дроби с произведениями

Пример Разбор задания. Найдите значение выражения:

Не будем сразу вычислять произведения в числителе и знаменателе. Сначала сократим общие множители — так вычисления будут проще.

  1. Сократим и на : , . Получим .
  2. Сократим и на : , . Получим .
  3. Числитель и знаменатель равны, поэтому значение дроби равно .

Всё решение можно записать одной цепочкой:

Ответ: .

Совет Если в числителе и знаменателе записаны произведения, проверь, можно ли сократить их множители до умножения. Помни: сокращают общие множители, а не отдельные слагаемые.

Пример 2. Приведение к заданному знаменателю

Пример Разбор задания. Дробь привели к знаменателю . Какое число окажется в числителе новой дроби?
  1. Найдём дополнительный множитель: .
  2. Умножим числитель и знаменатель на : .
  3. В числителе новой дроби получилось число .

Ответ: .

На экзамене Внимательно читай, что требуется найти. В этом задании в ответ нужно записать числитель — , а не всю дробь.

Что нужно запомнить

  • Основное свойство дроби позволяет менять её запись, сохраняя значение.
  • При сокращении числитель и знаменатель делят на общий делитель, больший .
  • При приведении к знаменателю, кратному исходному, числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
  • Дополнительный множитель находят делением нового знаменателя на старый.

Задачи по теме

Задача 1

Сократите дробь до несократимой и запишите полученный числитель.

Показать решение

Шаг 1. Числа 45 и 60 делятся на 15. Разделим числитель и знаменатель на это число:

Шаг 2. У чисел 3 и 4 нет общего натурального делителя, кроме 1, поэтому полученная дробь несократима.

Шаг 3. В ответ требуется записать только числитель полученной дроби. Он равен 3.

Ответ: 3.

Задача 2

Найдите значение выражения .

Показать решение

Шаг 1. Сократим множители 15 в числителе и 10 в знаменателе на 5. При этом весь числитель и весь знаменатель делятся на 5, поэтому значение дроби сохраняется:

Шаг 2. Сократим множители 8 и 12 на 4:

Шаг 3. Числитель и знаменатель полученной дроби равны 6, поэтому значение выражения равно 1.

Ответ: 1.

Задача 3

Найдите значение выражения .

Показать решение

Шаг 1. Чтобы не вычислять большие произведения, сначала сократим множители. Разделим 24 в числителе и 16 в знаменателе на 8:

Шаг 2. Числа 18 и 27 делятся на 9. Сократим эти множители на 9:

Шаг 3. В числителе и знаменателе получилось одно и то же ненулевое произведение. Следовательно, дробь равна 1.

Ответ: 1.

Задача 4

Дробь привели к знаменателю 100. Какое число записано в числителе новой дроби?

Показать решение

Шаг 1. Найдём дополнительный множитель: разделим новый знаменатель на исходный.

Шаг 2. Чтобы значение дроби не изменилось, умножим на 25 не только знаменатель, но и числитель:

Шаг 3. Числитель новой дроби равен 75.

Ответ: 75.

Задача 5

Найдите значение выражения .

Показать решение

Шаг 1. Сократим множители 35 в числителе и 14 в знаменателе на их общий делитель 7:

Шаг 2. Теперь сократим множители 6 и 15 на 3:

Шаг 3. Вычислим произведения. Числитель и знаменатель равны 10:

Ответ: 1.

Урок 1.2. Наименьший общий знаменатель