Алгоритм решения задач на совместную работу

В задачах на совместную работу важно не складывать время. Складываются производительности, то есть части работы, которые выполняются за единицу времени.

Если рабочий выполняет всю работу за часов, его производительность равна

Например, за один час он выполняет всей работы.

Основная модель

Введём обозначения:

• — объём всей работы;
• — время выполнения работы одним исполнителем;
• — производительность исполнителя;
• — производительности двух исполнителей;
• — время совместной работы.

Если вся работа принята за , то формулы становятся проще. Исполнитель, выполняющий работу за часов, имеет производительность , а второй — .

При совместной работе их общая производительность равна

Тогда время выполнения всей работы:

Рассмотрим стандартную задачу. Один рабочий выполняет заказ за часов, а другой — за часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Производительность первого рабочего равна заказа в час, второго — . Вместе они выполняют

заказа в час.

Значит, всё задание они выполнят за

часа, то есть за часов минут.

Обратите внимание: результат меньше часов — времени, которое требуется более быстрому рабочему в одиночку. Это полезная проверка.

Алгоритм решения

1. Примите весь объём работы за , если в условии не указан другой объём.
2. Найдите производительность каждого исполнителя: разделите объём работы на время.
3. Сложите производительности тех, кто работает одновременно.
4. Учтите, сколько времени работал каждый исполнитель.
5. Составьте уравнение по формуле «производительность умножить на время равна выполненной работе».
6. Решите уравнение и проверьте ответ по смыслу.

Рассмотрим задачу, где исполнители начинают работать не одновременно.

Первый рабочий может выполнить заказ за часов, второй — за часов. Первый работал один часа, после чего к нему присоединился второй. Весь заказ был выполнен за часов от начала работы. Найдём, какую часть заказа выполнил второй рабочий.

За первые часа первый рабочий выполнил

заказа.

Оставшаяся часть равна

Затем оба рабочих трудились часа. Их общая производительность:

За часа они выполнили

заказа. Но меньше оставшейся части , значит, условие в таком виде невозможно: за первые часа и следующие часа будет выполнено только

заказа.

Следовательно, если в условии сказано, что заказ действительно полностью выполнен за часов, нужно внимательно проверить числа: они противоречат друг другу. Такой контроль особенно важен в заданиях ЕГЭ.

Часто в задаче неизвестно время работы одного из исполнителей. Тогда удобно обозначить его через и составить уравнение.

Например, первый рабочий выполняет заказ за часов, а второй — за часов. Вместе они справляются с заказом за часа. Тогда

Отсюда

поэтому

Второй рабочий выполняет заказ за часа. Это возможно: он работает быстрее первого, поскольку совместно они справляются за часа, а один первый рабочий — за .

Не всегда нужно принимать всю работу за . Иногда в условии удобно использовать конкретный объём, например деталей. Тогда производительность можно считать в деталях за час.

Пусть один станок изготавливает деталей за часов, а другой — за часов. Их производительности:

и

деталей в час.

Вместе станки изготавливают деталей в час. Время выполнения заказа:

часа.

Обе модели дают один и тот же результат. Если использовать доли работы, получим работы в час, откуда часа.

Что проверить перед ответом

Проверьте не только вычисления, но и смысл результата.

• Совместное время должно быть меньше времени каждого исполнителя по отдельности.
• Если один исполнитель начал раньше, разделите работу на временные промежутки.
• Нельзя складывать времена выполнения: складываются производительности.
• Величина производительности должна иметь понятные единицы: работы в час, деталей в час, километров в час.
• Если ответ получен в часах с десятичной частью, при необходимости переведите её в минуты.

Главная схема таких задач проста:

Если исполнителей несколько, их производительности складываются только в те промежутки, когда они работают одновременно. Именно правильное разбиение времени чаще всего определяет успех решения.