Скорость течения и скорость лодки

В задачах на движение по воде скорость лодки обычно рассматривают относительно неподвижной воды, а течение добавляет или вычитает скорость. Поэтому сначала важно определить направление движения: по течению или против течения.

Если скорость лодки в стоячей воде равна , а скорость течения — , то:

Основные зависимости

Расстояние, скорость и время связаны формулой:

Отсюда:

Для задач ЕГЭ удобно сразу составлять таблицу. В ней отдельно записывают расстояние, скорость и время для каждого участка пути.

• по течению: скорость ;
• против течения: скорость ;
• время движения: ;
• общий путь: сумма расстояний по участкам;
• общее время: сумма времён по участкам.

Рассмотрим пример. Лодка прошла км по течению и км против течения. Собственная скорость лодки равна км/ч, а скорость течения — км/ч. Найдём общее время движения.

Скорость по течению:

Скорость против течения:

Составим таблицу в виде расчётов:

Тогда общее время:

Ответ: часа.

Как составить уравнение

Часто в задаче известны расстояния и общее время, но неизвестна скорость лодки или течения. В этом случае вводят переменную и выражают через неё скорости на обоих участках.

Например, лодка прошла км по течению и км против течения за часа. Скорость течения равна км/ч. Найдём собственную скорость лодки.

Пусть км/ч — собственная скорость лодки. Тогда:

• скорость по течению равна ;
• скорость против течения равна ;
• время по течению равно ;
• время против течения равно .

Так как общее время равно часам, получаем уравнение:

Ограничение на переменную:

поскольку лодка должна двигаться против течения, а её скорость относительно берега не может быть отрицательной.

Решим уравнение. Умножим обе части на :

Раскроем скобки:

Перенесём всё в одну сторону и разделим на :

Корни:

Один корень меньше скорости течения км/ч, поэтому он не подходит. Подходит значение

Ответ можно записать точно: км/ч.

Алгоритм решения задач на движение по воде:

1. Определите, где движение происходит по течению, а где против течения.
2. Обозначьте неизвестную величину, чаще всего собственную скорость лодки или скорость течения.
3. Запишите скорости участков: и .
4. Для каждого участка выразите время по формуле .
5. Составьте уравнение по условию задачи: сложите времена или расстояния.
6. Решите уравнение и отбросьте значения, которые нарушают смысл задачи.
7. Проверьте ответ подстановкой в исходное условие.

Рассмотрим ещё один типичный случай: лодка движется по течению, затем возвращается обратно. Пусть расстояние между двумя пристанями равно км, собственная скорость лодки — км/ч, скорость течения — км/ч.

Время движения вниз по реке:

Время движения вверх:

Общее время пути туда и обратно:

Важно не считать, что туда и обратно лодка движется с одной и той же скоростью. Расстояния равны, но скорости различаются, поэтому различаются и времена.

Иногда требуется найти скорость течения по известному времени движения туда и обратно. Пусть расстояние между пристанями равно , собственная скорость лодки — , а скорость течения — . Тогда общее время выражается так:

После сложения дробей:

Эта формула удобна для проверки, но на экзамене надёжнее начинать с двух отдельных времён. Так меньше риск перепутать знак или потерять смысл одного из участков.

При проверке ответа задайте себе три вопроса:

• положительна ли скорость лодки;
• больше ли собственная скорость скорости течения, если есть движение против течения;
• совпадает ли полученное время с условием после подстановки.

Главная идея таких задач проста: скорость лодки относительно берега меняется из-за течения, а время каждого участка находится отдельно. Сначала правильно выпишите скорости, затем используйте формулу — и задача сводится к обычному уравнению.