Связь расстояния, скорости и времени

В задачах на движение обычно известны или требуется найти три величины: расстояние, скорость и время. Они связаны основной формулой:

где — расстояние, — скорость, — время.

Из этой формулы получаем два других выражения:

Перед решением полезно выписать величины в таблицу. Так условие превращается в понятную математическую модель.

Таблица движения

Для каждого участника движения создаём отдельную строку. В столбцах указываем расстояние, скорость и время.

Если два тела движутся одно за другим по одному маршруту, часто удобно сравнивать их времена или расстояния. Например, если первый автомобиль проехал путь со скоростью км/ч за часов, то его расстояние равно км.

• При движении навстречу расстояния складываются: .
• При движении вдогонку сравниваются скорости: .
• При движении в противоположные стороны расстояние между объектами увеличивается со скоростью .
• Все величины в одной задаче должны быть выражены в согласованных единицах.

Рассмотрим движение навстречу. Пусть расстояние между городами равно км. Из первого города выехал автомобиль со скоростью км/ч, а из второго одновременно — автомобиль со скоростью км/ч.

За часов первый автомобиль пройдёт км, второй — км. Вместе они преодолеют всё расстояние:

Отсюда:

Значит, автомобили встретятся через часа.

Как составить уравнение

В задачах ЕГЭ условие часто содержит изменение скорости или времени. Например, если скорость увеличили на км/ч, новая скорость равна . Если поездка при этом стала на час короче, то времена можно записать как и .

Универсальный порядок решения такой:

1. Обозначьте неизвестную величину буквой, чаще всего .
2. Выразите через неё скорости, времена или расстояния из условия.
3. Составьте таблицу для участников движения.
4. Используйте формулу или условие на общий путь.
5. Решите уравнение и выберите подходящий корень.
6. Проверьте ответ по смыслу задачи и запишите его с единицами измерения.

Например, велосипедист проехал км за часа. Его скорость:

Если требуется выразить эту скорость в метрах в секунду, используем перевод:

Запомните основные переводы:

• км м;
• час минут;
• час секунд;
• м/с км/ч.

В задачах на движение по течению скорость лодки относительно берега зависит от направления. Если собственная скорость лодки равна , а скорость течения — , то:

Например, собственная скорость лодки — км/ч, а скорость течения — км/ч. Тогда за часа по течению лодка пройдёт:

Против течения за это же время она пройдёт:

Главная идея задач на движение проста: для каждого участника отдельно устанавливаем связь , а затем соединяем полученные выражения условием задачи. Не пытайтесь угадывать ответ по тексту — таблица и единицы измерения почти всегда показывают правильный путь к уравнению.