0 из 9

Классический прототип ФИПИ: разбор официальной демоверсии про лотерейные билеты

В этом уроке разберём лотерейный сюжет: как по количеству билетов и размерам призов найти математическое ожидание выигрыша. Начнём с классического прототипа, а затем рассмотрим несколько вариантов задачи.

1. Теоретический блок

Организаторы лотереи выпускают определённое количество билетов. Часть билетов приносит денежные призы, а остальные могут быть пустыми — с выигрышем рублей.

Обозначим через выигрыш по одному случайно выбранному билету. Считаем, что все билеты имеют одинаковую вероятность быть выбранными.

Математическое ожидание — это средний выигрыш на один билет. Оно не обязательно совпадает с каким-либо из разыгрываемых призов.

Метод 1. Через закон распределения

Для каждого возможного выигрыша найдём вероятность . Для этого нужно число билетов с таким выигрышем разделить на общее число билетов:

Затем умножим каждый возможный выигрыш на его вероятность и сложим результаты:

Важно Вероятность зависит от количества билетов с данным призом, а не от размера приза. Если составляем полный закон распределения, учитываем и выигрыш рублей; сумма всех вероятностей должна быть равна .

Метод 2. Через общий призовой фонд

Представим, что мы получили все билеты лотереи. Тогда нам достанутся все призы, а их общая сумма составит призовой фонд.

Чтобы найти средний выигрыш на один билет, разделим этот фонд на количество билетов:

Это та же формула математического ожидания, только записанная удобнее. Если выигрыш встречается на билетах, а всего билетов , то

На экзамене В лотерейных задачах обычно быстрее сначала найти призовой фонд. Делить его нужно на число всех билетов, включая пустые, а не только на число выигрышных.

2. Разбор примеров

Пример 1. Классический прототип демоверсии ФИПИ

Организаторы лотереи выпустили билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

билетов — по рублей;
билетов — по рублей;
билетов — по рублей;
билетов — по рублей;
билет — рублей.

Остальные билеты выигрыша не приносят. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Решение:

Найдём призовой фонд: размер каждого приза умножим на количество соответствующих билетов и сложим результаты.

Вычислим общую сумму призов.

Разделим фонд на общее количество билетов.

Ответ: .

Проверим результат через вероятности. Выигрышных билетов , поэтому пустых билетов .

Оба метода дают один результат, но расчёт через фонд короче.

Важно Ответ рублей не означает, что какой-то билет обязательно принесёт именно такую сумму. Это среднее значение выигрыша, а не отдельный приз.

Пример 2. Беспроигрышная лотерея

Организаторы беспроигрышного розыгрыша выпустили билетов. Из них билетов приносят выигрыш рублей, билетов — рублей, а остальные билетов — по рублей.

Найдите математическое ожидание выигрыша на один случайный билет.

Решение:

Проверим, что учтены все билеты.

Найдём призовой фонд.

Разделим фонд на количество билетов.

Ответ: .

Совет Даже если лотерея беспроигрышная, нельзя просто усреднить размеры призов. Нужно учитывать, сколько билетов приносит каждый из них.

Пример 3. Небольшое число крупных призов

Для благотворительной лотереи отпечатано билетов. Разыгрываются суперприза по рублей и призов по рублей; остальные билеты выигрыша не приносят.

Найдите математическое ожидание выигрыша на один случайный билет.

Решение:

Найдём общую сумму призов.

Учтём пустые билеты. Их , но вклад в призовой фонд равен .

Разделим фонд на все билетов.

Ответ: .

Крупные призы не обязательно означают большое математическое ожидание. Здесь выигрышных билетов мало по сравнению с общим количеством, поэтому средний выигрыш составляет всего рублей.

Пример 4. Одинаковое количество билетов с разными призами

Выпущено лотерейных билетов. Из них билетов имеют выигрыш рублей, ещё билетов — рублей и ещё билетов — рублей; остальные билеты ничего не выигрывают.

Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.

Решение:

Найдём призовой фонд. Поскольку билетов в каждой выигрышной категории поровну, можно вынести общий множитель .

Разделим фонд на общее количество билетов.

Ответ: .

Важно Деление фонда на дало бы средний выигрыш только среди выигрышных билетов. По условию билет выбирают из всех , поэтому в знаменателе должно быть .

Пример 5. Чистый выигрыш с учётом стоимости билета

Организаторы лотереи продают билеты по рублей за штуку. Всего выпущено билетов; среди них разыгрываются приз в рублей и призов по рублей.

Найдите математическое ожидание чистого выигрыша на один билет с учётом его стоимости.

Решение:

Найдём общий призовой фонд.

Вычислим математическое ожидание выигрыша без учёта расходов.

Вычтем стоимость билета. Если чистый выигрыш обозначить через , то , поэтому

Ответ: .

Отрицательное математическое ожидание означает средний убыток рублей на билет. Это не означает, что каждый участник потеряет ровно рублей: результат по конкретному билету будет зависеть от выпавшего приза.

На экзамене Различай выигрыш и чистый выигрыш. Если спрашивают сумму выплаты по билету, стоимость билета не вычитаем; если спрашивают результат с учётом расходов на покупку — вычитаем.

3. Краткий алгоритм

Определи, что требуется найти: выигрыш или чистый выигрыш.
Умножь размер каждого приза на количество билетов с таким призом.
Сложи полученные суммы — это призовой фонд.
Раздели фонд на общее количество билетов, включая пустые.
Если нужен чистый выигрыш, вычти стоимость одного билета.

Основная формула урока:

Она работает и для лотереи с пустыми билетами, и для беспроигрышного розыгрыша — при условии, что каждый билет выбирается с одинаковой вероятностью.

Задачи по теме

Задача 1

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Из них 500 билетов выигрывают по 100 рублей, 100 билетов — по 1000 рублей, 50 билетов — по 5000 рублей, 10 билетов — по 10 000 рублей и один билет — 50 000 рублей. Остальные билеты не выигрывают. Каждый выигрышный билет приносит только один из указанных призов.

Найдите математическое ожидание выигрыша по одному билету, выбранному случайным образом из всех выпущенных билетов. Ответ дайте в рублях.

Показать решение

Все 10 000 билетов имеют одинаковую вероятность быть выбранными. Поэтому средний выигрыш на один билет равен общему призовому фонду, делённому на количество билетов.

Вычислим суммы выплат для каждой категории:
по 100 рублей: 500 · 100 = 50 000 рублей;
по 1000 рублей: 100 · 1000 = 100 000 рублей;
по 5000 рублей: 50 · 5000 = 250 000 рублей;
по 10 000 рублей: 10 · 10 000 = 100 000 рублей;
единственный крупный приз: 50 000 рублей.

Общий призовой фонд составляет 50 000 + 100 000 + 250 000 + 100 000 + 50 000 = 550 000 рублей. Билеты без выигрыша не увеличивают эту сумму, но учитываются в общем количестве билетов.

Следовательно, математическое ожидание выигрыша равно рублей.

Ответ: 55.

Задача 2

В денежной лотерее участвуют 5000 билетов. Среди них 200 билетов с выигрышем 50 рублей, 80 билетов с выигрышем 500 рублей и 20 билетов с выигрышем 2500 рублей. На каждом из остальных билетов выигрыш равен нулю. Указанные группы билетов не пересекаются.

Случайная величина X — выигрыш в рублях по одному случайно выбранному билету. Найдите её математическое ожидание.

Показать решение

Величина X может принимать значения 0, 50, 500 и 2500. Количество билетов без выигрыша равно 5000 − 200 − 80 − 20 = 4700.

Вероятность каждого значения равна количеству соответствующих билетов, делённому на 5000. Поэтому .

Умножим каждое значение выигрыша на его вероятность и сложим результаты: .

Получаем 0 + 2 + 8 + 10 = 20 рублей.

Ответ: 20.

Задача 3

На благотворительной ярмарке разыгрывают денежные призы по 12 000 лотерейных билетов. Ровно 600 билетов приносят по 200 рублей, 90 билетов — по 2000 рублей, а 6 билетов — по 50 000 рублей. Остальные билеты не приносят выигрыша. На один билет приходится не более одного приза.

Посетитель выбирает один билет наугад. Найдите математическое ожидание его выигрыша в рублях, не учитывая стоимость билета.

Показать решение

Найдём общий размер денежных призов. Выплаты по первой категории составляют 600 · 200 = 120 000 рублей.

Выплаты по второй категории равны 90 · 2000 = 180 000 рублей, а по третьей — 6 · 50 000 = 300 000 рублей.

Итак, общий призовой фонд равен 120 000 + 180 000 + 300 000 = 600 000 рублей.

Поскольку билет выбирают из всех 12 000 билетов, делим призовой фонд именно на это количество: рублей. Стоимость билета по условию не вычитаем.

Ответ: 50.

Задача 4

Выпущено 20 000 лотерейных билетов стоимостью 80 рублей каждый. Из них 1000 билетов выигрывают по 100 рублей, 200 билетов — по 1000 рублей, 20 билетов — по 10 000 рублей, а 2 билета — по 100 000 рублей. Каждый из остальных билетов не выигрывает. Все призы приходятся на разные билеты.

Чистый доход покупателя — это выигрыш по билету за вычетом стоимости билета. Найдите математическое ожидание чистого дохода покупателя одного случайно выбранного билета. Ответ дайте в рублях.

Показать решение

Сначала вычислим математическое ожидание самого выигрыша, без учёта расходов на покупку.

Общий призовой фонд равен 1000 · 100 + 200 · 1000 + 20 · 10 000 + 2 · 100 000 = 100 000 + 200 000 + 200 000 + 200 000 = 700 000 рублей.

На один билет в среднем приходится рублей выигрыша.

За билет покупатель в любом случае платит 80 рублей. Поэтому математическое ожидание чистого дохода равно рублей. Отрицательный результат означает средний убыток.

Ответ: −45.

Задача 5

Организаторы планируют выпустить 4000 лотерейных билетов. На 160 билетах будет выигрыш 250 рублей, на 40 билетах — 1000 рублей, на 4 билетах — 15 000 рублей. Остальные билеты будут без выигрыша. На каждом выигрышном билете указан только один приз.

Какую цену одного билета нужно установить, чтобы математическое ожидание чистого дохода покупателя было равно нулю? Чистый доход равен выигрышу за вычетом цены билета. Каждый билет выбирается с одинаковой вероятностью. Ответ дайте в рублях.

Показать решение

Обозначим цену билета через c. Чтобы ожидаемый чистый доход был равен нулю, цена должна совпадать с математическим ожиданием выигрыша: .

Вычислим призовой фонд: 160 · 250 + 40 · 1000 + 4 · 15 000 = 40 000 + 40 000 + 60 000 = 140 000 рублей.

Разделим эту сумму на количество всех билетов: рублей.

При цене 35 рублей ожидаемый выигрыш полностью компенсирует стоимость покупки: 35 − 35 = 0.

Ответ: 35.

Задача 6

В лотерее выпущено 10 000 билетов. Среди них 300 билетов выигрывают по 200 рублей, 50 билетов — по 2000 рублей, а один отдельный билет приносит главный приз. Остальные билеты не выигрывают. Каждый выигрышный билет приносит только один приз.

Математическое ожидание выигрыша по билету, выбранному наугад из всех билетов, равно 42 рублям. Найдите размер главного приза в рублях.

Показать решение

Математическое ожидание выигрыша равно призовому фонду, делённому на 10 000. Значит, весь призовой фонд составляет 42 · 10 000 = 420 000 рублей.

На выплаты по билетам с выигрышем 200 рублей требуется 300 · 200 = 60 000 рублей.

На выплаты по билетам с выигрышем 2000 рублей требуется 50 · 2000 = 100 000 рублей. Вместе эти две категории составляют 160 000 рублей.

Главный приз равен оставшейся части фонда: 420 000 − 160 000 = 260 000 рублей.

Ответ: 260000.

Задача 7

Выпущено 8000 лотерейных билетов. Ровно 400 билетов выигрывают по 100 рублей, некоторое количество билетов — по 2000 рублей, а 4 билета — по 10 000 рублей. Остальные билеты не выигрывают. Указанные группы билетов не пересекаются.

Математическое ожидание выигрыша по одному случайно выбранному билету равно 30 рублям. Сколько билетов имеют выигрыш 2000 рублей?

Показать решение

Пусть n — количество билетов с выигрышем 2000 рублей. Тогда призовой фонд равен рублей.

С другой стороны, общий призовой фонд можно найти по известному математическому ожиданию: 30 · 8000 = 240 000 рублей.

Получаем уравнение . Следовательно, .

Проверим допустимость: всего выигрышных билетов 400 + 80 + 4 = 484, что меньше 8000. Условия задачи выполняются.

Ответ: 80.

Задача 8

Проводятся две денежные лотереи.

В лотерее А выпущено 6000 билетов: 300 билетов выигрывают по 100 рублей, 30 билетов — по 3000 рублей, остальные не выигрывают.

В лотерее Б выпущено 8000 билетов: 200 билетов выигрывают по 200 рублей, 40 билетов — по 2000 рублей, 2 билета — по 40 000 рублей, остальные не выигрывают. В каждой лотерее на один билет приходится не более одного приза.

На сколько рублей математическое ожидание выигрыша по случайному билету лотереи Б больше, чем по случайному билету лотереи А? Стоимость билетов не учитывайте.

Показать решение

Призовой фонд лотереи А составляет 300 · 100 + 30 · 3000 = 30 000 + 90 000 = 120 000 рублей.

Поэтому математическое ожидание выигрыша в лотерее А равно рублей.

Призовой фонд лотереи Б составляет 200 · 200 + 40 · 2000 + 2 · 40 000 = 40 000 + 80 000 + 80 000 = 200 000 рублей. Математическое ожидание выигрыша в ней равно рублей.

Вычислим разность в указанном порядке: 25 − 20 = 5 рублей.

Ответ: 5.

Задача 9

В лотерее участвуют 1000 билетов. Из них 100 билетов выигрывают по 100 рублей, 10 билетов — по 1000 рублей, а один билет — 10 000 рублей. Остальные билеты не выигрывают. Все призы приходятся на разные билеты.

Участник случайным образом выбирает три разных билета, причём все наборы из трёх билетов равновероятны. Найдите математическое ожидание суммы выигрышей по этим билетам. Стоимость билетов не учитывайте. Ответ дайте в рублях.

Показать решение

Найдём общий призовой фонд: 100 · 100 + 10 · 1000 + 1 · 10 000 = 10 000 + 10 000 + 10 000 = 30 000 рублей.

Математическое ожидание выигрыша по одному случайному билету равно рублей.

Представим выбор набора как последовательное извлечение трёх билетов без возвращения. На каждой из трёх позиций любой из 1000 билетов имеет одинаковую вероятность оказаться выбранным. Поэтому ожидаемый выигрыш на каждой позиции равен 30 рублям.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, даже если выигрыши зависимы. Значит, рублей.

Ответ: 90.

Задача 10

В денежной лотерее 200 билетов имеют выигрыш 100 рублей, 40 билетов — 2000 рублей, а 4 билета — 25 000 рублей. Все остальные билеты не выигрывают. Указанные призы приходятся на разные билеты.

Известно, что математическое ожидание выигрыша по одному билету, случайно выбранному из всех выпущенных билетов, равно 40 рублям. Сколько всего билетов выпустили организаторы?

Показать решение

Сначала найдём общий призовой фонд. По билетам первой категории выплачивается 200 · 100 = 20 000 рублей, второй категории — 40 · 2000 = 80 000 рублей, третьей — 4 · 25 000 = 100 000 рублей.

Таким образом, призовой фонд равен 20 000 + 80 000 + 100 000 = 200 000 рублей.

Пусть N — общее количество выпущенных билетов, включая билеты без выигрыша. Тогда . Отсюда .

Проверка: выигрышных билетов 200 + 40 + 4 = 244, а билетов без выигрыша 5000 − 244 = 4756. Полученное общее количество согласуется с условием.

Ответ: 5000.

Математическое ожидание «на пальцах»: формула, физический смысл и свойство линейности Геймификация и киберспорт: расчёт математического ожидания при открытии лутбоксов и кейсов