0 из 9

Что такое случайная величина и закон её распределения? Составляем первую таблицу

В теории вероятностей мы часто рассматриваем числовые результаты случайных опытов. Например, подбрасываем монету несколько раз и считаем, сколько раз выпал орёл.

Величина, которая в результате случайного опыта принимает то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Заранее неизвестно, какое именно значение она примет; обычно её обозначают заглавной буквой .

1. Теоретический блок

Случайные величины бывают двух типов:

  • Дискретные — их возможные значения можно перечислить: например, количество выпавших орлов или число забитых голов. В этом уроке будем работать именно с ними.
  • Непрерывные — их значения могут заполнять целый числовой промежуток: например, время работы лампочки.

Чтобы описать дискретную случайную величину, нужно знать все её возможные значения и вероятность каждого из них. Соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения.

Закон распределения удобно записывать в таблице. В верхней строке указывают значения , а под каждым из них — вероятность того, что примет это значение.

Значение
Вероятность

Например, запись читается так: «Вероятность того, что случайная величина примет значение , равна ».

Главное правило таблицы распределения

При каждом опыте случайная величина обязательно принимает одно из своих возможных значений. При этом принять два разных значения одновременно она не может, поэтому сумма всех вероятностей в таблице равна :

Важно Каждая вероятность находится в пределах от до . Сами значения случайной величины могут быть отрицательными или больше — это не вероятности.

Если сумма точно заданных вероятностей больше или меньше , в таблице есть ошибка. Однако равенство суммы единице ещё не гарантирует, что каждая вероятность найдена верно.

2. Разбор примеров

Пример 1. Составляем таблицу распределения с нуля

Симметричную монету подбрасывают два раза. Случайная величина — количество выпавших орлов. Составьте таблицу распределения для .

  1. Определим возможные значения . Орёл может не выпасть ни разу, выпасть ровно один раз или выпасть оба раза, поэтому принимает значения , и .
  2. Перечислим исходы двух бросков: ОО, ОР, РО, РР, где О — орёл, Р — решка. Всего исхода; при независимых бросках симметричной монеты они равновероятны.
  3. Для каждого значения посчитаем подходящие исходы и найдём вероятность.
  • : подходит только РР — один исход из четырёх. Поэтому .
  • : подходят ОР и РО — два исхода из четырёх. Поэтому .
  • : подходит только ОО — один исход из четырёх. Поэтому .
Важно Не путайте исходы опыта и значения случайной величины. Исходов здесь четыре, а значений — три: исходам ОР и РО соответствует одно и то же значение .
  1. Запишем найденные значения и вероятности в таблицу.
  1. Проверим сумму вероятностей:

Все возможные значения учтены, вероятности найдены и проверены. Полученная таблица — ответ.

Пример 2. Находим пропущенную вероятность

Случайная величина задана таблицей распределения. Найдите вероятность .
  1. Используем правило: сумма всех вероятностей равна . Составим уравнение:

  1. Сложим известные вероятности:

  1. Вычтем полученную сумму из единицы:

  1. Проверим: найденная вероятность находится между и , а сумма всех вероятностей равна .

Ответ: .

Совет Если в таблице пропущена одна вероятность, вычтите из сумму остальных вероятностей. Значения из верхней строки для этого складывать не нужно.

Коротко о главном

  • Случайная величина связывает результат случайного опыта с числом.
  • Закон распределения показывает, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями.
  • Чтобы составить таблицу, перечислите все возможные значения , найдите вероятность каждого и проверьте сумму вероятностей.
  • Каждая вероятность должна быть от до , а их общая сумма — равна .

Задачи по теме

Задача 1

Случайная величина может принимать только значения 1, 2 или 3. Вероятность того, что она примет значение 1, равна 0,35. Вероятность того, что она примет значение 2, равна 0,41. Найдите вероятность того, что случайная величина примет значение 3.

Показать решение

1. При каждом опыте случайная величина принимает ровно одно из трёх указанных значений. Поэтому сумма их вероятностей равна 1:

2. Сумма двух известных вероятностей равна . Вычтем её из единицы:

Ответ: 0,24.

Задача 2

Известен закон распределения случайной величины :

Найдите значение .

Показать решение

1. В нижней строке таблицы указаны вероятности всех возможных значений случайной величины. Их сумма должна быть равна 1:

2. Найдём сумму известных вероятностей: . Следовательно,

3. Полученное число находится между 0 и 1, а сумма всех четырёх вероятностей равна 1.

Ответ: 0,23.

Задача 3

Правильный шестигранный игральный кубик с числами от 1 до 6 бросают один раз. Случайная величина равна 1, если выпало чётное число очков, и равна 0, если выпало нечётное число очков. Найдите вероятность того, что .

Показать решение

1. У правильного кубика шесть равновероятных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

2. Значение случайной величины 1 соответствует выпадению любого чётного числа: 2, 4 или 6. Таким образом, благоприятных исходов три. Не нужно путать значение случайной величины с числом очков на кубике.

3. Разделим число благоприятных исходов на общее число равновероятных исходов:

Ответ: 0,5.

Задача 4

Баскетболист выполняет два независимых броска. Вероятность попадания в корзину при каждом броске равна 0,6. Случайная величина — число попаданий при этих двух бросках. Найдите вероятность того, что , то есть не будет ни одного попадания.

Показать решение

1. При каждом броске происходит либо попадание, либо промах. Поэтому вероятность промаха равна .

2. Чтобы число попаданий было равно нулю, баскетболист должен промахнуться и при первом, и при втором броске.

3. Броски независимы, поэтому вероятность двух промахов равна произведению вероятностей промаха в каждом броске:

Ответ: 0,16.

Задача 5

Случайная величина задана законом распределения:

Найдите пропущенную вероятность .

Показать решение

1. Неизвестная вероятность соответствует значению . Отрицательное значение случайной величины допустимо: это не вероятность.

2. Сложим известные вероятности из нижней строки:

3. Сумма всех вероятностей равна 1. Значит,

Ответ: 0,12.

Задача 6

Симметричную монету бросают три раза независимо друг от друга. Случайная величина равна количеству выпавших решек. С какой вероятностью случайная величина примет своё максимальное возможное значение?

Показать решение

1. За три броска решка может выпасть 0, 1, 2 или 3 раза. Максимальное возможное значение случайной величины равно 3.

2. Три решки выпадают только при последовательности РРР, где Р обозначает решку.

3. Вероятность решки в каждом броске симметричной монеты равна половине. По независимости бросков получаем:

Ответ: 0,125.

Задача 7

В коробке лежат 3 отличных приза и 7 обычных сувениров. Ученик наугад достаёт один предмет, причём каждый предмет может быть выбран с одинаковой вероятностью. Случайная величина равна 500, если достали приз, и 0, если достали сувенир. Найдите вероятность того, что .

Показать решение

1. Всего в коробке предметов. Их выборы равновероятны.

2. Случайная величина принимает значение 500, если выбран один из трёх призов. Поэтому благоприятных исходов три.

3. Искомая вероятность равна отношению числа призов к общему числу предметов:

Число 500 — значение случайной величины, а не число благоприятных исходов.

Ответ: 0,3.

Задача 8

Задана таблица распределения вероятностей случайной величины :

Найдите значение .

Показать решение

1. Неизвестная вероятность находится под значением 1, то есть .

2. Сумма вероятностей остальных значений равна:

3. Все перечисленные значения образуют полный набор возможных значений случайной величины. Поэтому

Проверка: сумма вероятностей после заполнения пропуска равна 1.

Ответ: 0,2.

Задача 9

Симметричную монету подбрасывают два раза независимо друг от друга. Случайная величина равна количеству выпавших решек. Составьте таблицу распределения случайной величины.

Показать решение

1. За два броска решка может не выпасть ни разу, выпасть один раз или два раза. Поэтому возможные значения случайной величины — 0, 1 и 2.

2. Обозначим орла буквой О, а решку — буквой Р. Все исходы опыта: ОО, ОР, РО, РР. Они равновероятны, поскольку монета симметрична и броски независимы. Вероятность каждого исхода равна 0,25.

3. Сгруппируем исходы по числу решек.
Ноль решек: только ОО — один исход из четырёх.
Одна решка: ОР и РО — два исхода из четырёх.
Две решки: только РР — один исход из четырёх.

4. Проверим сумму вероятностей: .

Ответ: таблица распределения: .

Задача 10

На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4 и 5 — по одному числу на каждой карточке. Наугад выбирают одну карточку; все карточки равновероятны. Случайная величина равна модулю разности между выбранным числом и числом 3. Составьте таблицу распределения случайной величины.

Показать решение

1. Для каждой карточки вычислим значение случайной величины:
Карточка 1: .
Карточка 2: .
Карточка 3: .
Карточка 4: .
Карточка 5: .

2. Получились три возможных значения: 0, 1 и 2. Значению 0 соответствует одна карточка, значению 1 — две карточки, значению 2 — также две карточки.

3. Всего пять равновероятных исходов. Поэтому

4. Проверим: . Хотя карточки равновероятны, значения случайной величины имеют разные вероятности, поскольку им соответствует разное число карточек.

Ответ: таблица распределения: .

Математическое ожидание «на пальцах»: формула, физический смысл и свойство линейности