Все прототипы задания №5 банка ФИПИ

В этом уроке разберём девять типов задач на вероятность: от независимых событий до формулы полной вероятности. Для каждого типа выделим основной приём и применим его в пошаговом решении.

Главное — сначала определить событие, вероятность которого нужно найти, и только потом выбирать формулу. Слова «хотя бы», «оба», «до первого попадания» и «известно, что» подсказывают ход решения.

1. Независимые события: хотя бы одна лампа не перегорит

Если события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей. Для трёх независимых событий:

Событию «хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событие «все лампы перегорят». Вероятности противоположных событий в сумме равны .

1. Найдём вероятность того, что за год перегорят все три лампы. По независимости событий:

1. Перейдём к противоположному событию:

Ответ: .

2. Заданная последовательность независимых исходов

Если нужна строго определённая цепочка независимых исходов, находим вероятность каждого шага и перемножаем результаты. Если вероятность попадания равна , то вероятность промаха равна .

1. Запишем вероятность попадания: .
2. Найдём вероятность промаха:

1. Нужна последовательность «попадание — попадание — промах — промах». Поэтому:

Ответ: .

3. Ограниченное число попыток до первого успеха

Если вероятность успеха в каждой независимой попытке равна , то вероятность неудачи равна . Вероятность хотя бы одного успеха за не более чем попыток:

Можно и складывать вероятности сценариев: успех сразу, успех после одной неудачи, после двух неудач и так далее. Эти сценарии несовместны, потому что первый успех не может произойти в двух разных попытках.

1. Проверим один патрон:

$P_1=0{$,}4 [На экзамене] В задаче на наименьшее число попыток нужно проверить не только достижение порога, но и то, что меньшего числа попыток недостаточно.

4. Условная классическая вероятность

Дополнительное условие меняет набор рассматриваемых исходов. Если оставшиеся исходы равновероятны, используем классическую формулу:

где — число исходов, удовлетворяющих условию, а — число благоприятных среди них.

1. При каждом броске могло выпасть только одно из пяти чисел: , , , или .
2. Найдём число допустимых упорядоченных пар:

1. Перечислим пары с суммой :

$Таких парm=4$.

1. Вычислим вероятность:

Ответ: .

5. Вероятность числовых промежутков дискретной величины (Задача про автобус)

Теория: Если случайная величина принимает только целые значения, то событие можно получить, исключив из события событие . Поэтому для целых :

Решение:

1. Обозначим количество пассажиров случайной величиной . По условию:

1. Событие «в автобусе меньше пассажиров» состоит из двух несовместных событий: пассажиров либо меньше , либо от до включительно. Значит:

1. Вычтем вероятность события :

Ответ: .

6. Вероятность промежутков непрерывной величины (Задача про взвешивание хлеба)

Теория: Событию противоположно событие « или ». При эти два «хвоста» несовместны, поэтому:

Важно точно учитывать границы: противоположное событие для «больше» — «не больше», а для «меньше» — «не меньше».

Решение:

1. Обозначим массу буханки в граммах случайной величиной . Найдём вероятность «левого хвоста» — масса не больше г:

1. Найдём вероятность «правого хвоста» — масса не меньше г:

1. Вычтем вероятности обоих «хвостов» из единицы:

Ответ: .

7. Зависимые последовательные события (Задача про фломастеры разных цветов)

Теория: При извлечении предметов без возвращения общее число оставшихся предметов уменьшается с каждым шагом. Вероятность следующего исхода нужно вычислять с учётом предыдущего. Вероятности шагов внутри одного сценария перемножают, а вероятности несовместных подходящих сценариев складывают.

Если порядок цветов не задан, нужно учесть оба порядка: сначала первый цвет, затем второй и наоборот.

Решение:

Нам подходят два сценария, так как порядок цветов в условии не зафиксирован.

1. Сценарий 1: синий красный. Вероятность достать синий первым равна . После этого в коробке останутся фломастера, среди которых красных. Условная вероятность достать красный вторым равна :

1. Сценарий 2: красный синий. Вероятность достать красный первым равна . После этого в коробке останутся фломастера, среди которых синих. Условная вероятность достать синий вторым равна :

1. Сценарии несовместны, поэтому складываем их вероятности:

Ответ: .

8.  Теорема сложения для совместных зависимых событий (Задача про автоматы с кофе)

Теория: Для любых двух событий справедлива общая формула сложения вероятностей:

Здесь означает наступление хотя бы одного из событий, а — наступление обоих. Вероятность пересечения вычитают, потому что при сложении и она учитывается дважды.

Для зависимых событий нельзя заменять произведением .

Решение:

1. Обозначим через событие «кофе закончится в первом автомате», через — «кофе закончится во втором автомате». Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном:

1. Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». Поэтому:

Ответ: .

 9. Формула полной вероятности (Задача про автоматическую линию и батарейки)

Теория: Событие «батарейка забракована» может произойти по двум несовместным сценариям: система верно отбраковала неисправную батарейку или ошибочно отбраковала исправную.

Обозначим через событие «батарейка неисправна», через — «батарейка исправна», через — «батарейка забракована». Тогда:

В каждой ветке вероятность состояния батарейки умножаем на условную вероятность отбраковки при этом состоянии, затем складываем результаты.

Пример с разбором: