Классическое определение вероятности и комбинаторный подсчёт исходов

Что разберём в уроке

Во многих задачах №4 достаточно разделить число подходящих исходов на число всех возможных. Вычисления обычно несложные: главное — выбрать исходы так, чтобы они были равновероятны, и правильно их посчитать.

В этом уроке разберём формулу Лапласа, научимся учитывать отрицание в условии и считать исходы в опытах из нескольких действий. Начнём с выбора билета и броска кубика, а затем перейдём к более сложным примерам.

Случайный эксперимент, исход и событие

Случайный эксперимент — это опыт, результат которого заранее неизвестен. Например, бросок игрального кубика, случайный выбор экзаменационного билета или извлечение шара из мешка.

Исход — один конкретный результат эксперимента. При одном броске кубика возможны шесть исходов: выпадение , , , , или очков.

Случайное событие может произойти или не произойти в результате опыта. Например, событие «выпало чётное число» происходит при любом из трёх исходов: , или .

Одно событие может объединять несколько исходов. Поэтому важно различать конкретный результат опыта и условие, которому этот результат должен соответствовать.

Формула Лапласа

Если возможных исходов конечное число и все они равновероятны, вероятность события находят по формуле Лапласа:

где:

• — число благоприятных исходов, при которых происходит событие ;
• — общее число всех возможных исходов.

Благоприятный исход — тот, который соответствует условию задачи. Слово «благоприятный» здесь не означает «хороший»: если требуется найти вероятность проигрыша, подходящими будут именно проигрышные исходы.

Вероятность показывает, какую долю среди всех равновероятных исходов составляют подходящие. Поэтому в числителе и знаменателе нужно считать исходы одного типа: билеты и билеты, шары и шары, пары результатов и пары результатов.

Как проверить значение вероятности

Число благоприятных исходов не может быть отрицательным или превышать общее число исходов. Отсюда получаем:

• Невозможное событие имеет вероятность : ему не соответствует ни один исход.
• Достоверное событие имеет вероятность : оно происходит при любом исходе.
• Если подходят некоторые исходы, но не все, вероятность строго больше и меньше .

Например, при броске обычного кубика событие «выпало очков» невозможно. Событие «выпало число от до » достоверно.

Алгоритм решения по формуле Лапласа

1. Определи, какой случайный эксперимент проводится.
2. Укажи, что считается одним исходом.
3. Проверь, что выбранные исходы равновероятны.
4. Найди общее число исходов .
5. Посчитай число благоприятных исходов .
6. Вычисли и проверь результат.

Пример 1. Билет без вопроса о грибах

Один исход — выбор конкретного билета. Каждый из билетов выбирается с одинаковой вероятностью, поэтому .

1. Считаем билеты без вопроса о грибах: .
2. Делим число подходящих билетов на общее число: .
3. Переводим результат в десятичную дробь:

Ответ: .

Результат согласуется с условием: билетов без вопроса о грибах значительно больше, чем остальных. Поэтому вероятность их выбора близка к .

Как учитывать слово «не»

Иногда проще посчитать неподходящие исходы и вычесть их количество из общего числа. В задаче о билетах именно так мы нашли число билетов без вопроса о грибах.

Событие «вопроса о грибах нет» противоположно событию «вопрос о грибах есть». Противоположные события не могут произойти одновременно, но одно из них обязательно произойдёт.

Если событие обозначено , то противоположное ему обозначают . Их вероятности связаны формулой:

Обозначим через событие «выбран билет с вопросом о грибах». Тогда задачу можно решить иначе:

Как читать ограничения в условии

Слова «больше», «меньше», «не менее» и «не более» задают разные условия. Главное различие — включается ли граничное значение.

• «Больше » означает : число не подходит.
• «Не менее » означает : число подходит.
• «Меньше » означает : число не подходит.
• «Не более » означает : число подходит.

При броске кубика условию «больше » соответствуют исходы и . Условию «не менее » соответствуют уже три исхода: , и .

Пример 2. Чётное число на кубике

1. Всего есть шесть равновероятных исходов: , , , , , . Значит, .
2. Подходят исходы , и , поэтому .
3. Применяем формулу Лапласа:

Ответ: .

Событие «выпало чётное число» объединяет три исхода. Само это событие нельзя считать одним из шести отдельных результатов броска.

Пример 3. Выбор шара

1. Считаем общее число шаров: .
2. Подходят все семь красных шаров, поэтому .
3. Находим вероятность:

Ответ: .

Если бы требовалась вероятность достать не красный шар, подходили бы синие и белые шары. Тогда получили бы:

Проверим через противоположное событие:

Как считать исходы в несколько действий

Если эксперимент состоит из нескольких действий, один исход должен описывать результат всего эксперимента. Например, для двух бросков кубика исходом будет пара чисел: результат первого броска и результат второго.

Для подсчёта часто используют правило произведения. Если первое действие можно выполнить способами, а после каждого из них второе — способами, то всего получится вариантов.

У первого броска кубика шесть возможных результатов. После каждого из них второй бросок также может дать любой из шести результатов, поэтому число пар равно:

В последовательных опытах порядок результатов нужно учитывать. Пары и — разные исходы: в одном случае сначала выпало , в другом — .

Само правило произведения помогает посчитать варианты, но не гарантирует их равновероятность. Для независимых бросков симметричного кубика все пар равновероятны, поэтому к ним можно применить формулу Лапласа.

Пример 4. Два броска кубика

Один исход — упорядоченная пара результатов двух бросков. Всего таких равновероятных пар .

1. В первом броске подходят три результата: , , .
2. Для каждого из них во втором броске тоже подходят три результата.
3. Получаем благоприятных исходов.
4. Делим число подходящих пар на число всех пар:

Ответ: .

Для проверки можно выписать все подходящие пары:

• , , ;
• , , ;
• , , .

Повторяющиеся числа разрешены: например, пара вполне возможна. Первый бросок не исключает выпадение того же числа во втором.

Пример 5. Хотя бы одно чётное число

«Хотя бы один раз» означает один или два раза. Прямой подсчёт возможен, но здесь удобнее перейти к противоположному событию: чётное число не выпало ни разу, то есть оба результата нечётные.

1. Всего равновероятных исходов .
2. Нечётных чисел на кубике три: , , .
3. Пар с двумя нечётными числами .
4. Вычитаем вероятность противоположного события из :

Ответ: .

Пример 6. Ровно одно чётное число

Здесь два чётных результата уже не подходят. Нужны либо чётное число в первом броске и нечётное во втором, либо наоборот.

1. Пар вида «чётное, нечётное» будет .
2. Пар вида «нечётное, чётное» тоже будет .
3. Эти группы не пересекаются, поэтому .
4. Вычисляем вероятность:

Ответ: .

Сравни условия: «оба раза», «хотя бы один раз» и «ровно один раз» описывают разные события. Даже при одном и том же эксперименте наборы благоприятных исходов будут различаться.

Когда числа вариантов складывают, а когда умножают

Правило произведения используют, когда последовательно выбирают несколько элементов или результатов. Так мы считали пары: три варианта первого результата и для каждого из них три варианта второго дают пары.

Сложение используют, когда подходящие исходы разбиты на непересекающиеся группы. В предыдущем примере девять пар одного вида и девять пар другого вида дали исходов.

Например, если отдельно считать пары «первое число чётное» и «второе число чётное», пары с двумя чётными числами попадут в обе группы. Поэтому для события «хотя бы одно чётное» проще использовать противоположное событие.

Пример 7. Числа на карточках

Все карточки равновероятны, поэтому . Условие «не менее , но меньше » записывается как .

1. Выписываем подходящие числа: , , , , , , .
2. Получаем .
3. Применяем формулу:

Ответ: .

Последовательные целые числа от до включительно можно посчитать по формуле . В нашем случае это : единица нужна, чтобы учесть оба конца промежутка.

Пример 8. Выбор без возвращения

Мысленно пронумеруем шары, чтобы различать их. Один исход — упорядоченная пара конкретных шаров.

1. Первый шар можно выбрать способами, второй — способами, потому что один шар уже вынут. Всего равновероятных пар.
2. Первый красный шар можно выбрать способами, а второй красный — способами. Значит, .
3. Находим вероятность:

Ответ: .

Частые ошибки

• Делить общее число исходов на число благоприятных. По формуле нужно наоборот: .
• Считать цвета вместо отдельных шаров, хотя цвета не равновероятны.
• Искать вероятность противоположного события из-за пропущенного слова «не».
• Путать «больше» и «не менее», не учитывать граничное значение.
• Считать и одним исходом в опыте из двух последовательных бросков.
• Путать условия «ровно один» и «хотя бы один».
• Дважды учитывать исходы при сложении пересекающихся групп.
• Оставлять прежнее число вариантов после извлечения предмета без возвращения.

Главное из урока

Формула Лапласа сводит задачу на вероятность к подсчёту исходов. Она работает, когда исходов конечное число и все они равновероятны:

• Сначала определи, что считается одним исходом.
• В числителе считай подходящие исходы, в знаменателе — все возможные.
• В последовательных опытах учитывай порядок результатов.
• Для подсчёта вариантов используй список, таблицу, сложение или правило произведения.
• Если проще посчитать противоположное событие, применяй .
• Проверяй, что ответ относится к нужному событию и находится между и .