Задачи с выплатами «в конце» периода и остатком, уменьшающимся неравномерно

В стандартной схеме дифференцированных платежей основной долг уменьшается каждый период на одну и ту же величину. Но условие может быть устроено иначе: в первые месяцы долг сокращается равномерно, а в последний месяц оставшийся долг погашается целиком.

В таких задачах важно не продолжать привычную схему автоматически. Разберём, как учитывать порядок начисления процентов и отдельно рассчитывать последнюю выплату.

Как устроен расчётный период

Сначала банк начисляет проценты на остаток долга после предыдущей выплаты. Затем заёмщик вносит платёж, и долг уменьшается до указанной в условии величины.

Выплата «в конце периода» не обязательно приходится на последнее число календарного месяца. Главное — порядок событий: сначала начисляются проценты, затем вносится платёж.

Обозначим через долг после предыдущей выплаты, через — долг после текущей, а через — месячную процентную ставку в долях единицы. Тогда текущая выплата равна:

Перегруппируем слагаемые:

Получается, что платёж состоит из двух частей: уменьшения основного долга и процентов на остаток перед начислением.

Что меняется в последнем месяце

Пусть сумма кредита равна , а в первые месяцев долг уменьшается на за месяц. Тогда остатки после выплат имеют вид:

В эти месяцы платёж рассчитывается по формуле:

После предпоследней выплаты остаётся долг . В последнем месяце нужно погасить весь этот остаток вместе с начисленными процентами:

Последний платёж нужно рассчитывать по оставшемуся долгу, а не по величине обычного ежемесячного уменьшения.

Разбор задачи

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 11 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца.
• Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 40 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
• 15-го числа 11-го месяца долг должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита, если известно, что к 15-му числу 10-го месяца банку уже было выплачено 760 тыс. рублей.

Здесь месяцы нумеруются по порядку возврата кредита: первая выплата приходится на февраль. К 15-му числу 10-го месяца уже внесены десять платежей.

Шаг 1. Записываем остатки долга

Все суммы будем считать в тысячах рублей. Начальная сумма кредита , месячная ставка в долях единицы — .

В первые десять месяцев долг уменьшается на 40 тыс. рублей:

• До первой выплаты: .
• После первой выплаты: .
• После второй выплаты: .
• После девятой выплаты: .
• После десятой выплаты: .
• После одиннадцатой выплаты: .

Обрати внимание: в последнем месяце основной долг уменьшается уже не на 40, а на 600 тыс. рублей.

Шаг 2. Составляем сумму первых десяти выплат

Каждый из первых десяти платежей состоит из 40 тыс. рублей основного долга и процентов на остаток после предыдущей выплаты. Например:

За десять месяцев погашено тыс. рублей основного долга. Поэтому сумма первых десяти выплат равна:

В скобках — арифметическая прогрессия из десяти членов. Её сумма:

Шаг 3. Находим процентную ставку

По условию за первые десять месяцев выплачено 760 тыс. рублей:

Отсюда:

Для дальнейших вычислений удобнее оставить ставку точной дробью. Переводить её в проценты и округлять не требуется.

Шаг 4. Рассчитываем последнюю выплату и итог

После десятой выплаты остаётся 600 тыс. рублей долга. В одиннадцатом месяце на эту сумму начисляются проценты, после чего долг погашается полностью:

Прибавим эту выплату к уже выплаченным 760 тыс. рублей:

Ответ: тыс. рублей, или приблизительно рубля.

Как проверить результат

При полном погашении кредита сумма всех выплат равна сумме кредита плюс все начисленные проценты:

В нашей задаче сумма остатков, на которые начислялись проценты, равна . Значит:

Результаты совпали. Такой способ проверки помогает заметить пропущенный месяц или неверную базу для процентов.

Алгоритм решения

1. Выбери единицы измерения и обозначь процентную ставку: .
2. Установи порядок событий: начисление процентов, выплата, фиксация нового остатка.
3. Запиши остатки долга после выплат, отдельно отметив предпоследний.
4. Для обычных месяцев используй формулу «уменьшение долга плюс проценты на предыдущий остаток».
5. Составь уравнение по известной сумме выплат.
6. Рассчитай последний платёж как весь оставшийся долг с процентами.
7. Проверь итог по формуле «кредит плюс все проценты».

Задачи для отработки

Во всех задачах проценты начисляются один раз в месяц на остаток после предыдущей выплаты. Платёж вносится в конце расчётного месяца, после начисления процентов.

1. Кредит 600 тыс. рублей взят на 6 месяцев. После каждой из первых пяти выплат долг уменьшается на 80 тыс. рублей, а шестой выплатой погашается полностью. За первые пять месяцев выплачено 444 тыс. рублей. Найдите месячную процентную ставку и общую сумму выплат.

1. Кредит 900 тыс. рублей взят на 8 месяцев под в месяц. После каждой из первых семи выплат долг уменьшается на 100 тыс. рублей, а восьмой выплатой погашается полностью. Найдите последнюю выплату и общую сумму выплат.

1. Кредит 1200 тыс. рублей взят на 6 месяцев под в месяц. После каждой из первых пяти выплат долг уменьшается на одну и ту же неизвестную величину. За эти пять месяцев выплачено 600 тыс. рублей, а шестой выплатой долг погашен полностью. Найдите ежемесячное уменьшение долга в первые пять месяцев и общую сумму выплат.

Ответы и краткие решения

1. В первые пять месяцев проценты начисляются на суммы , , , , тыс. рублей. Их сумма равна , поэтому:

После пятой выплаты остаётся тыс. рублей. Последняя выплата равна тыс. рублей, а общая сумма — тыс. рублей.

Ответ: в месяц; 648 тыс. рублей.

1. После седьмой выплаты остаётся тыс. рублей. Последняя выплата:

За первые семь месяцев сумма остатков для начисления процентов равна тыс. рублей. Общая сумма выплат:

Ответ: 206 тыс. рублей; 1032 тыс. рублей.

1. Обозначим ежемесячное уменьшение долга через тыс. рублей. За первые пять месяцев основной долг уменьшится на , а сумма остатков для начисления процентов составит:

Составим уравнение по сумме пяти выплат:

После пятой выплаты остаётся тыс. рублей. Последняя выплата равна тыс. рублей, а общая сумма — тыс. рублей.

Ответ: 100 тыс. рублей; 1314 тыс. рублей.

Чек-лист для самопроверки

• Я определил, сколько выплат уже сделано к указанной в условии дате.
• Я начисляю проценты на долг до текущей выплаты, а не после неё.
• Я различаю уменьшение основного долга и размер платежа.
• Я проверил количество слагаемых в сумме остатков.
• Я отдельно рассчитал последний платёж.
• Я сохранил точные значения до получения ответа и указал единицы измерения.