0 из 13

Задачи на округление (выбор оптимального количества/целых чисел)

В экономических задачах часто нужно найти целое число: количество ежегодных платежей, число работников, количество единиц товара или целую процентную ставку. Даже если расчёт дал дробное значение, ответ выбирают по условию задачи.

В этом уроке разберём, когда нужно округлять вверх, когда — вниз и как выбирать целое число, при котором прибыль максимальна или расходы минимальны.

Почему обычное округление может подвести

Пусть для выполнения заказа требуется не менее часа, а оплачивать оборудование можно только за целое число часов. Трёх часов недостаточно, поэтому придётся оплатить четыре, хотя по обычным правилам округляется до .

Главный принцип: выбираем целое число по смыслу условия, а не по близости к дробному результату.

Если и требуется наибольшее целое значение, берём . Число уже нарушает ограничение.
Если и требуется наименьшее целое значение, берём . Число ещё не удовлетворяет условию.

Важно Сам по себе знак неравенства не определяет ответ. Нужно также учитывать, что требуется найти: наименьшее или наибольшее значение, и какие значения допустимы по смыслу задачи.

Строгие и нестрогие ограничения

Особенно внимательно проверяй случаи, когда граница получилась целой. При строгом неравенстве значение на границе брать нельзя.

Если , наибольшее целое значение — .
Если , наибольшее целое значение — .
Если , наименьшее целое значение — .
Если , наименьшее целое значение — .

Если граница нецелая, строгость неравенства не меняет ближайшего допустимого целого числа. Например, и при , и при наибольшее целое значение равно .

Совет Переводи слова в знаки: «не более» — , «не менее» — , «меньше» — , «больше» — .

Универсальный алгоритм

Обозначь искомую величину и укажи, что она целая. Запиши дополнительные ограничения: например, число работников должно быть положительным.
Построй математическую модель: неравенство, последовательность остатков долга или функцию прибыли.
Найди границу допустимых значений или точку оптимума.
Выбери подходящие целые числа.
Проверь выбранное число и соседнее с ним, чтобы обосновать минимальность или максимальность.

Не всегда нужно находить дробную границу с высокой точностью. Часто достаточно показать, что одно целое число подходит, а следующее уже нет.

Пример 1. Кредит: сколько ежегодных платежей потребуется

Клиент берёт кредит млн рублей под годовых. В конце каждого года банк сначала начисляет проценты на остаток долга, затем клиент вносит тыс. рублей; последний платёж равен оставшемуся долгу с процентами, если эта сумма меньше тыс. рублей.

Через сколько лет кредит будет полностью погашен?

Будем считать суммы в тысячах рублей. Начальный долг равен , а остаток после очередного полного платежа вычисляется по правилу:

Последовательно найдём остатки долга:

После первого платежа: .
После второго платежа: .
После третьего платежа: .
После четвёртого платежа: .
После пятого платежа: .
После шестого платежа: .

После шестого платежа долг ещё положителен. К моменту седьмого платежа он составит:

тыс. рублей.

Эта сумма меньше тыс. рублей, поэтому седьмым платежом клиент полностью закроет кредит. Ответ: лет.

Важно Здесь не нужно искать «дробное число лет»: выплаты происходят только в конце каждого года. Проверяем два соседних момента: после шестого платежа долг остаётся, седьмого платежа достаточно.

Если при расчёте седьмого остатка вычесть все тыс. рублей, получится отрицательное число. Это не реальный отрицательный долг, а признак того, что последний платёж должен быть меньше обычного.

Пример 2. Наибольшая целая процентная ставка

В банке взят кредит млн рублей на два года. В конце каждого года на текущий долг начисляются проценты, после чего заёмщик вносит одинаковый платёж.

Общая сумма двух платежей не должна превышать млн рублей. Найдём наибольшее целое значение годовой процентной ставки.

Пусть — ставка в процентах, — коэффициент увеличения долга, а — ежегодный платёж в миллионах рублей. Ограничение на сумму выплат даёт:

После первого платежа долг равен , а после второго кредит погашен:

Отсюда получаем формулу платежа:

Так как , знаменатель положителен. Поэтому:

Корни соответствующего квадратного уравнения:

С учётом получаем:

Перейдём к ставке:

Кандидат на ответ — . Проверим его и следующую целую ставку в полученном неравенстве:

При имеем и .
При имеем и .

Ставка подходит, а уже нарушает ограничение. Ответ: .

На экзамене По обычным правилам число округлилось бы до . Но здесь нужна наибольшая целая ставка, не превышающая границу, поэтому ответ — .

Пример 3. Минимальное число работников

За смену нужно упаковать заказов. Один работник может упаковать не более заказов за смену; считаем, что работники выполняют заказы независимо друг от друга.

Какое наименьшее число работников нужно привлечь?

Пусть — число работников. Их общей производительности должно хватить на все заказы:

Выбираем ближайшее целое число сверху: . Проверим:

Восемь работников упакуют не более заказов — этого недостаточно.
Девять работников могут упаковать до заказов — этого достаточно.

Ответ: работников.

Совет В задачах на достаточное количество людей, машин или упаковок последний участник или последняя единица могут использоваться не полностью. Это не повод уменьшать ответ.

Пример 4. Максимальное количество товара при ограниченном бюджете

На закупку оборудования выделено рублей. Один прибор стоит рублей, других расходов нет.

Какое наибольшее число приборов можно купить?

Пусть — количество приборов. Расходы не должны превышать бюджет:

Выбираем ближайшее целое число снизу: . Проверим:

Семь приборов стоят рублей.
Восемь приборов стоят рублей, что превышает бюджет.

Ответ: приборов. Оставшиеся деньги не позволяют купить ещё один целый прибор.

Пример 5. Целое количество, при котором прибыль максимальна

Предприятие выпускает целое число партий товара , причём . Прибыль в тысячах рублей описывается функцией:

Сколько партий нужно выпустить, чтобы прибыль была наибольшей?

Выделим квадрат:

Если бы могло быть любым действительным числом, максимум достигался бы при . Но количество партий целое, поэтому проверяем два соседних значения: и .

Оба значения дают одинаковую прибыль. Остальные допустимые целые числа дальше от , поэтому квадрат у них больше, а прибыль меньше.

Ответ: или партий. Если бы требовалось наименьшее число партий, обеспечивающее максимальную прибыль, ответом было бы .

Важно В задачах на оптимизацию недостаточно просто округлить точку максимума или минимума. Для квадратичной функции с вершиной внутри допустимого промежутка сравниваем значения в соседних целых точках; для других функций такой приём требует обоснования.

Как не ошибиться в промежуточных вычислениях

Слишком раннее округление может изменить границу допустимых значений. По возможности сохраняй точные дроби и корни до выбора целого ответа.

В примере со ставкой надёжнее оставить границу , а затем проверить и . В задаче о кредите — последовательно считать остатки долга, не округляя их после каждого действия, если это не предусмотрено условием.

Проверка выбранного числа и соседнего — главное обоснование оптимального целого ответа. При этом из решения должно быть понятно, почему дальнейшее движение в эту сторону тоже не даст подходящего значения.

Чек-лист для самопроверки

Я проверил, действительно ли искомая величина должна быть целой.
Я указал допустимые значения переменной: например, положительные целые числа.
Я правильно перевёл слова «не более», «не менее», «меньше» и «больше» в математические знаки.
Я различаю выбор целого числа по ограничению и поиск максимума или минимума функции.
Я не округлял промежуточные результаты без необходимости.
Я проверил выбранное целое число и соседнее в нужную сторону.
Я объяснил, почему меньший или больший ответ не подходит.
Я записал ответ именно на вопрос задачи и указал единицы измерения, где они нужны.

Что такое процент, сложные проценты и повышающий коэффициент