Повторение: основное свойство дроби и сокращение дробей

Перед сложением и вычитанием дробей часто нужно изменить их вид: сократить дробь или привести её к удобному знаменателю. Сегодня повторим два важных навыка, которые понадобятся на каждом следующем уроке.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

Например:

Мы получили равную дробь с другим знаменателем. Это свойство понадобится, когда знаменатели дробей нужно будет сделать одинаковыми.

Можно также перейти от дроби к дроби :

В этом случае дробь сократили. Сокращение не меняет значение дроби, а только записывает её проще.

Как сокращать дроби

Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель числителя и знаменателя. Затем разделить на него обе части дроби.

1. Найдите общий делитель числителя и знаменателя.
2. Разделите числитель и знаменатель на этот делитель.
3. Проверьте, можно ли сократить полученную дробь ещё раз.
4. Остановитесь, когда числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме .

Иногда дробь удобно сокращать поэтапно:

Но обычно быстрее сразу найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Для устного счёта полезно помнить признаки делимости:

• на — последняя цифра чётная;
• на — сумма цифр делится на ;
• на — последняя цифра или ;
• на — сумма цифр делится на ;
• на — последняя цифра .

Рассмотрим дробь . Оба числа делятся на , затем получаем . Числа и делятся на $3:

Можно было сразу разделить числитель и знаменатель на :

Что нужно уметь проверять

После сокращения полезно выполнить обратную проверку: на какое число вы делили числитель, на то же число должен делиться и знаменатель.

Например:

Проверяем: , а . Значит, сокращение выполнено верно.

Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь можно сократить. Если общий делитель только , дробь уже несократимая.

Определим, какие дроби можно сократить:

• — нельзя, общий делитель только ;
• — можно на : ;
• — можно на : ;
• — можно на : .

Применение основного свойства

Основное свойство дроби позволяет получить заданный знаменатель. Например, преобразуем к знаменателю :

значит, числитель и знаменатель нужно умножить на :

А дробь к знаменателю преобразуется так:

Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель. Именно поэтому основное свойство дроби является подготовкой к сложению и вычитанию дробей.

Попробуйте выполнить задания самостоятельно.

1. Сократите дробь .
2. Сократите дробь .
3. Представьте дробь со знаменателем .
4. Представьте дробь со знаменателем .

Ответы:

1. .
2. .
3. .
4. .

Запомните главное: равные дроби имеют одинаковое значение, даже если выглядят по-разному. Сокращение делает дробь проще, а умножение числителя и знаменателя на одно и то же число помогает получить нужный знаменатель.