Задача 12 → №18 профильного ЕГЭ

При каких значениях \(a\) существует единственное решение системы

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 4,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2} = a?}\end{array}} \right.\)


Решение

При \(a \le 0\) второе уравнение системы задает точку (3, –4) или пустое множество, поэтому при таких а система решений не имеет.

При \(a > 0\) уравнения системы задают на координатной плоскости окружности: первая – с центром (0, 0) и радиусом 2, а вторая – с центром (3, –4) и радиусом \(\sqrt a \). Окружности имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда они касаются внешним образом или внутренним образом, т.е. когда сумма или разность их радиусов равна расстоянию 5 между их центрами:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a + 2 = 5,}\\{\sqrt a - 2 = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = {\left( {5 \pm 2} \right)^2}\)

Ответ: 9; 49.



Источник задачи: олимпиада "Ломоносов", 2008 год, задача №3.
Просмотров: 779 | 23 февраля 2017
Математика ← Устный счёт
Мальчик сбежал по ленте движущегося эскалатора за 30с. Второй раз он спустился по неподвижной ленте за 45 с. За сколько времени он спустился бы стоя на ступеньке движущегося эскалатора?



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»