Задача 12 → №18 профильного ЕГЭ

При каких значениях \(a\) существует единственное решение системы

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 4,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2} = a?}\end{array}} \right.\)


Решение

При \(a \le 0\) второе уравнение системы задает точку (3, –4) или пустое множество, поэтому при таких а система решений не имеет.

При \(a > 0\) уравнения системы задают на координатной плоскости окружности: первая – с центром (0, 0) и радиусом 2, а вторая – с центром (3, –4) и радиусом \(\sqrt a \). Окружности имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда они касаются внешним образом или внутренним образом, т.е. когда сумма или разность их радиусов равна расстоянию 5 между их центрами:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a + 2 = 5,}\\{\sqrt a - 2 = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = {\left( {5 \pm 2} \right)^2}\)

Ответ: 9; 49.



Источник задачи: олимпиада "Ломоносов", 2008 год, задача №3.
Просмотров: 865 | 23 февраля 2017
Математика ← Тренировка
Сколько процентов от суммы чисел 11; 16 и 23 составляет число 12?



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»