Задача 9 → №19 профильного ЕГЭ

Про натуральные числа \(x\) и \(y\) и целое нечётное число \(z\) известно, что

\(x! + y! = 24z + 2017.\)

Найдите все возможные такие тройки чисел \(\left( {x,y,z} \right)\). (Напомним, что \(1! = 1\), \(2! = 1 \cdot 2\), \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\).)


Решение

Заметим, что при любом \(z\) выражение \(24z + 2017\) является нечётным числом (как сумма чётного и нечётного чисел). Если же \(x > 1\) и \(y > 1\), то выражение \(x! + y!\) является чётным числом, поскольку каждое из слагаемых будет делиться на 2. Поэтому одно из чисел x или у должно равняться единице. Пусть \(x = 1\), тогда имеем:

\(y! = 24z + 2016,\;\;z = \frac{{y!}}{{24}} - 84.\)

Поскольку \(z\) нечётное число, то и \(y!/24\) должно быть нечётным. Значит подходят всего два значения \(y\):

\({y_1} = 4,\;\;{z_1} = - 83;\;\;{y_2} = 5,\;\;{z_2} = - 79.\)

Итак, получаем две тройки: (1, 4, –83), (1, 5, –79). Для получения окончательного ответа остается рассмотреть аналогичный случай для \(y = 1\).

Ответ: (1, 4, –83), (1, 5, –79), (4, 1, –83), (4, 1, –79).



Источник задачи: олимпиада ОММО, 2017 год.
Просмотров: 447 | 20 февраля 2017
Математика ← Задание 5
Научная конференция проводится в 7 дней. Всего запланировано 288 выступлений — последние 3 дня по 48 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление товарища М. окажется запланированным на первый день мероприятия?



© 2008-2017. «4ЕГЭ»

Если нашли ошибку в тексте, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter.