Задача 1

В треугольнике \({\rm{ABC}}\) проведена биссектриса \({\rm{AM}}\). Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно \({\rm{AM}}\), пересекает сторону \({\rm{AC}}\) в точке \({\rm{N}}\); \({\rm{AB = 6}}\), \({\rm{BC = 5}}\), \({\rm{AC = 9}}\).

а) Докажите, что биссектриса угла \({\rm{C}}\) делит отрезок \({\rm{MN}}\) пополам.
б) Пусть \({\rm{P}}\) – точка пересечения биссектрис треугольника \({\rm{ABC}}\). Найдите отношение \({\rm{AP : PN}}\).


Решение

а) В треугольнике \({\rm{ABC}}\) имеем:

\(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

откуда получаем, что \({\rm{BM = 2}}{\rm{, MC = 3}}\).

В треугольнике \({\rm{ABN}}\) биссектриса \({\rm{AM}}\) перпендикулярна стороне \({\rm{BN}}\), следовательно, треугольник \({\rm{ABN}}\) равнобедренный. Получаем, что \({\rm{AN = AB = 6}}\), откуда \({\rm{CN = AC - AN = 9 - 6 = 3}}\).

Следовательно, треугольник \({\rm{NCM}}\) равнобедренный, а, значит, биссектриса угла \({\rm{C}}\) является медианой треугольника \({\rm{NCM}}\) и делит отрезок \({\rm{MN}}\) пополам.


б) Прямая \({\rm{CP}}\) является серединным перпендикуляром к отрезку \({\rm{MN}}\), следовательно, \({\rm{PM = PN}}{\rm{.}}\)

В треугольнике AMC имеем:

\(\frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{AC}}{{CM}} = \frac{9}{3} = 3\)

откуда получаем, что \({\rm{AP : PN = AP : PM = 3:1}}{\rm{.}}\)

Ответ: \({\rm{3:1}}\).