Задача 1 → №16 профильного ЕГЭ

Открываем новую рубрику "Интересная задача". Каждый день на сайте будет публиковаться 1 задача соответствующая профильному ЕГЭ по математике с 13 по 19 номер.


В треугольнике \({\rm{ABC}}\) проведена биссектриса \({\rm{AM}}\). Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно \({\rm{AM}}\), пересекает сторону \({\rm{AC}}\) в точке \({\rm{N}}\); \({\rm{AB = 6}}\), \({\rm{BC = 5}}\), \({\rm{AC = 9}}\).

а) Докажите, что биссектриса угла \({\rm{C}}\) делит отрезок \({\rm{MN}}\) пополам.
б) Пусть \({\rm{P}}\) – точка пересечения биссектрис треугольника \({\rm{ABC}}\). Найдите отношение \({\rm{AP : PN}}\).


Решение

а) В треугольнике \({\rm{ABC}}\) имеем:

\(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

откуда получаем, что \({\rm{BM = 2}}{\rm{, MC = 3}}\).

Задача 1В треугольнике \({\rm{ABN}}\) биссектриса \({\rm{AM}}\) перпендикулярна стороне \({\rm{BN}}\), следовательно, треугольник \({\rm{ABN}}\) равнобедренный. Получаем, что \({\rm{AN = AB = 6}}\), откуда \({\rm{CN = AC - AN = 9 - 6 = 3}}\).

Следовательно, треугольник \({\rm{NCM}}\) равнобедренный, а, значит, биссектриса угла \({\rm{C}}\) является медианой треугольника \({\rm{NCM}}\) и делит отрезок \({\rm{MN}}\) пополам.


б) Прямая \({\rm{CP}}\) является серединным перпендикуляром к отрезку \({\rm{MN}}\), следовательно, \({\rm{PM = PN}}{\rm{.}}\)

В треугольнике AMC имеем:

\(\frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{AC}}{{CM}} = \frac{9}{3} = 3\)

откуда получаем, что \({\rm{AP : PN = AP : PM = 3:1}}{\rm{.}}\)

Ответ: \({\rm{3:1}}\).



Источник задачи: реальный вариант 2014 года.
Просмотров: 1706 | 12 февраля 2017
Математика ← Задача на движение
Расстояние между двумя поселками 36км. Велосипедист может проехать этот путь за 3ч, а пешеход может пройти его за 6ч. Через сколько часов встретятся велосипедист и пешеход, если начнут движение из этих посёлков одновременно навстречу друг другу?



Русский язык ← Задание 6
Укажите пример с ошибкой в образовании формы слова.



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»