Задача №19 профильного ЕГЭ по математике

На доске написано несколько различных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4.
а) Может ли сумма этих чисел равняться 282?
б) Может ли сумма этих чисел равняться 390?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если их сумма равна 2226?


В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. 1-й ученик насыпает порции по 100 г, 2-й – по 200 г, 3-й – по 300 г, 4-й – по 400 г. Какие-то кролики могут остаться без корма.
а) может ли оказаться, что все кролики получили равное количество корма, если их было 15?
б) может ли оказаться, что все кролики получили разное количество корма, если их было 15?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый школьник насыпал корм ровно 4-м кроликам и все кролики получили разное количество корма?


Все члeны последовательности натуральные числа. Каждый из них, кроме первого, в 14 больше или в 14 меньше предыдущего. А сумма всех равна 7424.
а) может ли в последовательности быть ровно 2 числа?
б) может ли в последовательности быть ровно 3 числа?
в) какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности?


В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы 2 овоща различной массы, а средняя масса всех овощей 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г., равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г., равна 1030 г.
а) могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой больше 1000 г. и меньше 1000 г.?
б) могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых 1000 г.?
в) какую наибольшую массу может иметь овощ в этом ящике?


На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3 стерли с доски.
а) может ли оказаться среднее арифметическое оставшихся чисел больше 16?
б) может ли среднее арифметическое оставшихся чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) найдите наибольшее возможное среднее арифметическое оставшихся чисел.


Каждый из 32 студентов писал или одну или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух работ по отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший (единственный, если писал одну работу) из своих баллов. Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
а) Привести пример, когда S < 14.
б) Могло ли ? быть равно 7?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольных писали 12 студентов?