Задача 27 → №16 профильного ЕГЭ

В равнобедренном треугольнике с периметром 60 см точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.



Решение

Пусть в исходном треугольнике ABC AB = BC, BM – медиана, O – точка пересечения медиан. Заметим, что OM – диаметр окружности, а значит, BM = 3OM = 6r (где r – радиус вписанной окружности).

Задача 27Площадь треугольника, с одной стороны, есть

\(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = 3r \cdot AC,\)

а с другой – \(\frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + AC} \right)r = 30r.\)

Следовательно,

\(AC = \frac{{30r}}{{3r}} = 10,\;\;AB = BC = \frac{{60 - 10}}{2} = 25.\)

Ответ: 25, 25, 10.



Источник задачи: олимпиада ОММО, заключительный тур, 2011. №7.
Просмотров: 505 | 10 марта 2017
Математика ← Задание 14
Найдите точку максимума функции



Обратная связь

© 2008-2017. «4ЕГЭ»
Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.