10 марта 2017
В закладки
Обсудить
Задача 27
В равнобедренном треугольнике с периметром 60 см точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Решение
Пусть в исходном треугольнике ABC AB = BC, BM – медиана, O – точка пересечения медиан. Заметим, что OM – диаметр окружности, а значит, BM = 3OM = 6r (где r – радиус вписанной окружности).
Площадь треугольника, с одной стороны, есть \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = 3r \cdot AC,\)
а с другой – \(\frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + AC} \right)r = 30r.\)
Следовательно,
\(AC = \frac{{30r}}{{3r}} = 10,\;\;AB = BC = \frac{{60 - 10}}{2} = 25.\)
Ответ: 25, 25, 10.