Задача 17 → №17 профильного ЕГЭ

В вазе лежат конфеты двух сортов, причем число конфет первого сорта более, чем на 20 штук, превышает число конфет второго сорта. Одна конфета 1-го сорта весит 2 г, а конфета второго сорта – 3 г. Из вазы взяли 15 конфет одного сорта, вес которых составил 1/5 часть от веса всех конфет, лежащих в вазе. Затем было взято еще 20 конфет другого сорта; их вес оказался равным весу оставшихся в вазе конфет. Сколько конфет каждого сорта лежало первоначально в вазе?


Решение

Пусть в вазе лежат n конфет первого сорта и m – второго. Предположим, что сначала брали конфеты второго сорта. Тогда из условия задачи получаем два противоречивых уравнения:

\(45 = \frac{1}{5}\left( {2n + 3m} \right),\;\;40 = \frac{4}{5}\left( {2n + 3m} \right) - 40.\)

Следовательно, в первый раз брали конфеты первого сорта. Тогда получаем единственное уравнение \(2n + 3m = 150\) (из условия о взятии 15 конфет). Второе уравнение (из условия о взятии 20 конфет) совпадает с уже приведенным. По условию задачи имеем также набор неравенств:

\(n \ge 15,\;\;m \ge 20,\;\;n - m > 20,\)

причем последнее, учитывая, что n и m – целые, можно записать в более сильном виде: \(n - m \ge 21\). таким образом, получаем систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2n + 3m = 150,}\\{n \ge 15,\;\;m \ge 20,}\\{n - m \ge 21,\;\;n,m \in N.}\end{array}} \right.\)

Выразив переменную n из уравнения и подставив это выражение в последнее неравенство, получим, что \(m \le \frac{{108}}{5}\). Следовательно, \(m \le 21\). Учитывая неравенство \(m \ge 20\), получаем, что система может быть выполнена лишь при \(m = 20\) и \(m = 21\). Из уравнения следует также, что m – четное число. Таким образом, \(m = 20\), откуда \(n = 45\), причем все условия системы оказываются выполненными.

Ответ: 45 конфет 1-го сорта и 20 конфет 2-го сорта.



Источник задачи: сборник задач под ред. Куланина.
Просмотров: 619 | 28 февраля 2017
Математика ← Экономика
Мобильный телефон стоил 3500 руб. Через некоторое время цену снизили до 2800 руб. На сколько процентов была снижена цена?



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»