18 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 7
Найдите все значения параметра \({\rm{b}}\), для каждого из которых найдется число \({\rm{a}}\) такое, что система
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \left| {y - b} \right| + \frac{3}{b},}\\{{x^2} + {y^2} + 32 = a\left( {2y - a} \right) + 12x}\end{array}} \right.\)
имеет хотя бы одно решение \((x;y)\)
Решение
Второе уравнение системы может быть преобразовано к виду
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {2^2},\)
следовательно, оно задаёт окружность радиуса 2 с центром \((6;a)\). При всевозможных \(a \in \mathbb{R}\) эти окружности заметают полосу \(4 \le x \le 8\).
Первое уравнение задаёт "уголок" с ветвями, направленными вправо, с вершиной в точке \(\left( {\frac{3}{b};b} \right)\).
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы "уголок", задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с полосой \(4 \le x \le 8\), а для этого нужно, чтобы абсцисса его вершины удовлетворяла неравенству \({x_в} \le 8\), т.е. \(\frac{3}{b} \le 8\), откуда получаем ответ.
Ответ: \(b \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {\frac{3}{8}; + \infty } \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \left| {y - b} \right| + \frac{3}{b},}\\{{x^2} + {y^2} + 32 = a\left( {2y - a} \right) + 12x}\end{array}} \right.\)
имеет хотя бы одно решение \((x;y)\)
Решение
Второе уравнение системы может быть преобразовано к виду
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {2^2},\)
следовательно, оно задаёт окружность радиуса 2 с центром \((6;a)\). При всевозможных \(a \in \mathbb{R}\) эти окружности заметают полосу \(4 \le x \le 8\).
Первое уравнение задаёт "уголок" с ветвями, направленными вправо, с вершиной в точке \(\left( {\frac{3}{b};b} \right)\).
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы "уголок", задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с полосой \(4 \le x \le 8\), а для этого нужно, чтобы абсцисса его вершины удовлетворяла неравенству \({x_в} \le 8\), т.е. \(\frac{3}{b} \le 8\), откуда получаем ответ.
Ответ: \(b \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {\frac{3}{8}; + \infty } \right)\)