Алгоритм для задания 14 ЕГЭ по математике

Множество значений функции.

Надо твёрдо помнить и хорошо понимать следующие свойства функций.

1. Если f(х) непрерывна и возрастает на [а;Ь], то E[f(х)] = [f(a); f(b)] .
убывает = [f(b); f(a)]
И при этом каждое значение из [f(a); f(b)] функция принимает только один раз и только при одном х€[а;b].

2. Если функция непрерывна на [а; Ь] и дифференцируема на (а; b), то наибольшее и и наименьшее значения функции на [а; b] существую! и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, входящих в этот отрезок.


Для применения этого свойства к нахождению множества значений функции применяется алгоритм.

1) найти f'(х)
2) найти критические точки и выбрать те, которые принадлежат данному отрезку
3) найти значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках
4) среди найденных значений выбрать наибольшее М и наименьшее m.
Тогда множество значений будет [m;М]

Замечание Если областью определения является интервал, то вместо нахождения значений функции на концах отрезка находят пределы функции при стремлении аргумента к концам интервал. Значения пределов не включаются в множество значений.

И, конечно, нужно ТВЁРДО помнить основные свойства (область определения, множество значений, характер монотонности, четность, периодичность и др.) элементарных функций. А если вы еще вы будете держать в голове их графики, то вовсе будет идеально.

Таким образом, основные методы нахождения множества значений функции можно выделить такие.

1. Использование простейших оценок и ограничений и последовательное нахождение значений сложных аргументов функции.
2. Использование свойств непрерывности и монотонности.
3. Использование производной.
4. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.
5. Графический метод.
6. Специальные приемы (введение параметра, метод обратной функции).