Задача 29 → №18 профильного ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

\({25^{ - \left| {x - a} \right|}}{\log _{\sqrt[5]{7}}}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {5^{ - {x^2} + 2x}}{\log _{1/7}}\left( {2\left| {x - a} \right| + 2} \right) = 0\)

имеет ровно три различных решения.


Решение

Выражения под знаком логарифма положительны, оставим только пятерки и только семёрки.

\({5^{ - 2\left| {x - a} \right|}} \cdot 5 \cdot {\log _7}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {5^{ - {x^2} + 2x}} \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {2\left| {x - a} \right| + 2} \right) = 0.\)

\(\frac{{{{\log }_7}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{5^{2\left| {x - a} \right| - 1}}}} = \frac{{{{\log }_7}\left( {2\left| {x - a} \right| + 2} \right)}}{{{5^{{x^2} - 2x}}}}\)

Поделим обе части на 5 в кубе:

\(\frac{{{{\log }_7}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{5^{2\left| {x - a} \right| + 2}}}} = \frac{{{{\log }_7}\left( {2\left| {x - a} \right| + 2} \right)}}{{{5^{{x^2} - 2x + 3}}}}\)

Для наглядности умножим последнюю дробь "крест накрест".

\({5^{{x^2} - 2x + 3}} \cdot {\log _7}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {5^{2\left| {x - a} \right| + 2}} \cdot {\log _7}\left( {2\left| {x - a} \right| + 2} \right)\)

Из последнего равенства возникает вполне логичное утверждение:

\({x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - a} \right| + 2,\;\;{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - a} \right|.\)

Полученное равенство решаем графически.

Задача 29

Приступаем:

\(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1,\;\;f'\left( x \right) = 2x - 2,\)

\({y_k} = x_0^2 - 2{x_0} + 1 + \left( {2{x_0} - 2} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\)

\({y_k} = \left( {2{x_0} - 2} \right)x - x_0^2 - {x_0} + 1.\)

\({g_1}\left( x \right) = - 2x + 2a,\;\;{g_2}\left( x \right) = 2x - 2a.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} < a,}\\{2{x_0} - 2 = - 2,}\\{ - x_0^2 - {x_0} + 1 = 2a,}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} \ge a,}\\{2{x_0} - 2 = 2,}\\{ - x_0^2 - {x_0} + 1 = - 2a;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 0,\;\;a = \frac{1}{2};\;\;\;{x_0} = 2,\;\;a = \frac{3}{2}\)

Третий случай существования трех решений очевиден, \(a = 1\).

Ответ: \(\frac{1}{2};1;\;\frac{3}{2}\).



Источник задачи: очный тур олимпиады "Покори Воробьёвы горы!", Уфа, 2015.
Просмотров: 575 | 12 марта 2017
Математика ← Устный счёт
В 2 литра 10 – процентного раствора уксусной кислоты добавить 8л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»