7 марта 2017
В закладки
Обсудить
Задача 24
Решить уравнение
\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = 6\)
Решение
Перепишем уравнение в виде
\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right)^2} - 6\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right) + 8 = 0.\)
Решив его как квадратное относительно \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\), получим
1) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = 2,\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1,\;\;\sin x = \pm 1,\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};\)
2) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = {2^2},\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 2,\;\;\emptyset .\)
Ответ: \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\).
\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = 6\)
Решение
Перепишем уравнение в виде
\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right)^2} - 6\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right) + 8 = 0.\)
Решив его как квадратное относительно \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\), получим
1) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = 2,\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1,\;\;\sin x = \pm 1,\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};\)
2) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = {2^2},\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 2,\;\;\emptyset .\)
Ответ: \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\).