Задача 24 → №13 профильного ЕГЭ

Решить уравнение

\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = 6\)


Решение

Перепишем уравнение в виде

\({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + 4 \cdot {2^{1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right)^2} - 6\left( {{2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}} \right) + 8 = 0.\)

Решив его как квадратное относительно \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\), получим

1) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = 2,\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1,\;\;\sin x = \pm 1,\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};\)

2) \({2^{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} = {2^2},\;\;{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 2,\;\;\emptyset .\)

Ответ: \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\).



Источник задачи: сборник Сканави.
Просмотров: 316 | 7 марта 2017
Математика ← Тренировка



© 2008-2017. «4ЕГЭ»

Если нашли ошибку в тексте, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter.