Задача 23 → №14 профильного ЕГЭ

Дан куб с основанием ABCD и боковыми ребрами AA', BB', CC', DD'; длина ребра куба равна 1. Сфера касается ребер AA', A'D', AB и пересекает ребро СС' в точке M такой, что \(CM = \frac{1}{3}\). Найти радиус сферы.


Решение

Задача 23Геометрическое место точек, равноудаленных от прямых AB и AA', совпадает с плоскостью AB'C'D. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямых AA' и A'D', есть плоскость A'B'CD. Центр О шара принадлежит обеим указанным плоскостям и, значит, лежит на линии их пересечения, т.е. на диагонали B'D куба.

Заметим, что расстояния от точки О до AA' и CC' одинаковы, следовательно, шар касается ребра CC' в точке M. Но тогда OM – перпендикуляр к CC'. Теперь мы легко находим длину перпендикуляра OP к плоскости ABCD (OP=MC=1/3), длину отрезка PD \(\left( {PD = \frac{1}{3}BD = \sqrt 2 /3} \right)\), длину перпендикуляра PQ к прямой CD \(\left( {PQ = 1/3} \right)\) и, наконец, длину отрезка CQ \(\left( {CQ = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}} \right)\). По теореме Пифагора

\(O{M^2} = P{C^2} = C{Q^2} + P{Q^2} = {\left( {2/3} \right)^2} + {\left( {1/3} \right)^2} = 5/9\)

Ответ: \(\sqrt 5 /3\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, ф.е.н., 1980, вар. 1, №4.
Просмотров: 768 | 6 марта 2017
Математика ← Устный счёт
Найдите корень уравнения



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»