Задача 22 → №19 профильного ЕГЭ

Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток [0; 60).

а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?


Решение

а) Пусть стрелка, начав движение в точке 15, движется на 1/2 мин вперед и на 1/2 мин назад (возвратившись в точку 15), затем на 1/4 мин вперед и на 1/4 мин назад, затем на 1/8 мин вперед и на 1/8 мин назад, и т.д. Тогда в результате этих колебаний она побывает бесконечно много раз в точке 15 в течение

\(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right) + \ldots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = 2\)

После этого, перейдя за полчаса из точки 15 в точку 45 и проделав в ней в течение 2 мин аналогичные колебания, она всего за 34 мин выполнит поставленную перед ней задачу.

б) С одной стороны, за трое суток стрелка, двигаясь в одном направлении, может сделать 3 • 24 = 72 оборота, показав каждое из чисел ровно по 72 раза. С другой стороны, если бы при некотором движении стрелки самое редкое показание встретилось 73 раза, то остальные показания – также не меньше 73 раз, а тогда полная угловая длина пути стрелки за эти трое суток была бы не меньше 73 оборотов, что невозможно.

Ответ: а) да; б) 72.



Источник задачи: олимпиада "Ломоносов", 2009 год, задача №8.
Просмотров: 794 | 5 марта 2017
Математика ← Задание 10
Вычислите



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»