Задача 18 → №13 профильного ЕГЭ

Пусть

\(\frac{{67 - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 60\sin x}}{{36{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 45 + 12\sqrt {11} \cos x}} = 3.\)

Какое наибольшее значение может принимать \(15\sin x\)?


Решение

Перепишем числитель в виде квадратного уравнения относительно той тригонометрической функции, которая была изначально в первой степени. То же самое сделаем и со знаменателем. Затем найдем граничные значения.

Потом мы проверим для найденных значений тригонометрических функций выполнение тригонометрического тождества.

\(67 - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 60\sin x = 36{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 60\sin x + 31 = {\left( {6\sin x + 5} \right)^2} + 6.\)

\(36{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 45 + 12\sqrt {11} \cos x = - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 12\sqrt {11} \cos x - 9 = \)

\( = 2 - {\left( {6\cos x - \sqrt {11} } \right)^2}.\)


Исходное уравнение перепишется в виде:

\(\frac{{{{\left( {6\sin x + 5} \right)}^2} + 6}}{{2 - {{\left( {6\cos x - \sqrt {11} } \right)}^2}}} = 3.\)

Наш числитель не меньше 6, а знаменатель не больше 2. Поэтому, требуемое равенство достигается только тогда, когда числитель равен 6, а знаменатель равен 2. Это выполняется при

\(\sin x = - \frac{5}{6},\;\;\cos x = \frac{{\sqrt {11} }}{5}.\)

Проверим, достигаются ли записанные равенства при одном и том же значении х:

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{25}}{{36}} + \frac{{11}}{{36}} = \frac{{36}}{{36}} = 1.\)

Получается, что требуемые значения синуса и косинуса достигаются одновременно. Если теперь вспомнить о том, что от нас требовалось найти значение \(15\sin x\), то:

\(15\sin x = 15 \cdot - \frac{5}{6} = - 12,5.\)

Ответ: –12,5.



Источник задачи: онлайн-этап олимпиады Физтех, 2016-2017 учебный год.
Просмотров: 743 | 1 марта 2017
Математика ← Задание 5
Научная конференция проводится в 7 дней. Всего запланировано 288 выступлений — последние 3 дня по 48 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление товарища М. окажется запланированным на первый день мероприятия?



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»