Задача 16 → №16 профильного ЕГЭ

Острый угол ABC ромба ABCD равен 60°. Окружность проходит через центр ромба, касается прямой АВ в точке В и пересекает сторону CD в точке Е. Определить, в каком отношении точка Е делит отрезок CD.


Решение

Пусть F – центр ромба. Продолжим FC до пересечения с данной окружностью в некоторой точке G. Так как угол BFG – прямой, то BG – диаметр. Следовательно, центр O данной окружности лежит на середине BG. Используя известные соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике ABG, легко подсчитать, что \(AG = 2a\), \(BG = 2BO = a\sqrt 3 \), \(AC = a\). Значит, ОС – средняя линия в треугольнике ABG, а точки O, C, E и D лежат на одной прямой. Таким образом,

\(CE = OE - OC = OB - \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right),\;\;DE = CD - CE = \frac{a}{2}\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\)

откуда \(DE:CE = \sqrt 3 :1\).

Ответ: \(\sqrt 3 :1\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, 1979 год, мехмат, задача №4.
Просмотров: 917 | 27 февраля 2017
Математика ← Задание 13
Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?



Математика ← Устный счёт
Чиновник был на службе 16 лет и 8 месяцев и каждый месяц откладывал по 7 руб. 50 коп. Сколько у него накопилось денег?



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2018. «4ЕГЭ»