Задача 11 → №15 профильного ЕГЭ

Решить неравенство

\({\log _{{x^2} + \frac{1}{4}}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) \ge 1.\)


Решение

Логарифмическая функция убывает, если её основание меньше единицы, и возрастает, если её основание больше единицы (равным единице основание быть не может). Таким образом, имеются две возможности.

А. \(0 < {x^2} + \frac{1}{4} < 1,\) т.е. \(\left| x \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). В данном случае исходное неравенство равносильно соотношениям:

\(0 < \frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} \le {x^2} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

Вместе с условием \(\left| x \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) получаем \(x \in \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right]\).


Б. \({x^2} + \frac{1}{4} > 1\), т.е. \(\left| x \right| > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). В этом случае

\(\frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} \ge {x^2} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).

С учётом условия \(\left| x \right| > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) находим \(x \in \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right]\).


Ответ: \(\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right]\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, 1976 год, вопрос №4.
Просмотров: 758 | 22 февраля 2017
Математика ← Устный счёт
Найдите корни уравнения



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»