21 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 10
В треугольной пирамиде \(ABCD\) боковые рёбра попарно перпендикулярны, \(DA = DB = 2\), \(DC = 5\). Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от рёбер луч не отражается), луч падает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Решение
Мы помним, что угол падения равен углу отражения. Назовем падающий луч первым, отраженный – вторым и представим, что есть еще третий луч, являющийся продолжением первого за точку пересечения с гранью. Так вот, первый и второй лучи по закону образуют равные углы с плоскостью, а третий луч также образует тот же угол с плоскостью из-за равенства вертикальных углов. То есть отраженный луч и прошедший дальше симметричны относительно плоскости, на которую падал первый луч.
Пусть луч, пущенный из точки на грани ABC попадает в грань ADC. Тогда отрезок продолженного сквозь ACD луча будет в точности равен и симметричен отрезку луча, отраженного от ACD внутрь пирамиды ABCD.
Теперь наш луч движется к грани ADB', а отраженный от ACD – к грани ABD. Пусть теперь луч пересекает грань ADB' и движется к грани DB'C', а отраженный от грани ADB луч внутри ABCD будет двигаться к грани DBC. И вновь соответствующие отрезки лучей внутри ABCD и нашего всепроникающего луча будут равны.
Теперь луч движется к грани A'B'C', а луч внутри ABCD, отраженный от грани DBC, по условию возвращается к грани ABC, причем не сказано, что в ту же самую точку.
Таким образом, отрезок прямой, не менявшей своего направления, образованный точками пересечения этой прямой с плоскостями ABC и A'B'C', будет в точности равен расстоянию, который прошел луч внутри ABCD.
Отсюда, кратчайший путь луч пройдет внутри ABCD только в том случае, когда наш отрезок будет иметь минимальную длину, то есть будет равен расстоянию между параллельными плоскостями ABC и A'B'C'. Это расстояние, очевидно, равно удвоенной высоте пирамиды ABCD, проведенной из точки D. Остается найти её.
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ADC}} \cdot BD = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = \frac{{10}}{3}.\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot h,\;\;h = \frac{{10}}{{{S_{ABC}}}}.\)
\(AC = \sqrt {C{D^2} + A{D^2}} = \sqrt {29} = BC,\;\;AB = AD\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\)
\(\cos \angle ACB = \frac{{2 \cdot A{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot A{C^2}}} = \frac{{25}}{{29}},\;\;\sin \angle ACB = \frac{{6\sqrt 6 }}{{29}}.\)
\(h = \frac{{10}}{{\frac{1}{2} \cdot A{C^2} \cdot \sin \angle ACB}} = \frac{{10}}{{\frac{1}{2} \cdot 29 \cdot \frac{{6\sqrt 6 }}{{29}}}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{9}.\)
Искомое расстояние вдове больше высоты, т.е. равно \(10\sqrt 6 /9\).
Ответ: \(10\sqrt 6 /9\).
Решение
Мы помним, что угол падения равен углу отражения. Назовем падающий луч первым, отраженный – вторым и представим, что есть еще третий луч, являющийся продолжением первого за точку пересечения с гранью. Так вот, первый и второй лучи по закону образуют равные углы с плоскостью, а третий луч также образует тот же угол с плоскостью из-за равенства вертикальных углов. То есть отраженный луч и прошедший дальше симметричны относительно плоскости, на которую падал первый луч.
Пусть луч, пущенный из точки на грани ABC попадает в грань ADC. Тогда отрезок продолженного сквозь ACD луча будет в точности равен и симметричен отрезку луча, отраженного от ACD внутрь пирамиды ABCD.
Теперь наш луч движется к грани ADB', а отраженный от ACD – к грани ABD. Пусть теперь луч пересекает грань ADB' и движется к грани DB'C', а отраженный от грани ADB луч внутри ABCD будет двигаться к грани DBC. И вновь соответствующие отрезки лучей внутри ABCD и нашего всепроникающего луча будут равны.
Теперь луч движется к грани A'B'C', а луч внутри ABCD, отраженный от грани DBC, по условию возвращается к грани ABC, причем не сказано, что в ту же самую точку.
Таким образом, отрезок прямой, не менявшей своего направления, образованный точками пересечения этой прямой с плоскостями ABC и A'B'C', будет в точности равен расстоянию, который прошел луч внутри ABCD.
Отсюда, кратчайший путь луч пройдет внутри ABCD только в том случае, когда наш отрезок будет иметь минимальную длину, то есть будет равен расстоянию между параллельными плоскостями ABC и A'B'C'. Это расстояние, очевидно, равно удвоенной высоте пирамиды ABCD, проведенной из точки D. Остается найти её.
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ADC}} \cdot BD = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = \frac{{10}}{3}.\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot h,\;\;h = \frac{{10}}{{{S_{ABC}}}}.\)
\(AC = \sqrt {C{D^2} + A{D^2}} = \sqrt {29} = BC,\;\;AB = AD\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\)
\(\cos \angle ACB = \frac{{2 \cdot A{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot A{C^2}}} = \frac{{25}}{{29}},\;\;\sin \angle ACB = \frac{{6\sqrt 6 }}{{29}}.\)
\(h = \frac{{10}}{{\frac{1}{2} \cdot A{C^2} \cdot \sin \angle ACB}} = \frac{{10}}{{\frac{1}{2} \cdot 29 \cdot \frac{{6\sqrt 6 }}{{29}}}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{9}.\)
Искомое расстояние вдове больше высоты, т.е. равно \(10\sqrt 6 /9\).
Ответ: \(10\sqrt 6 /9\).