Задача 6 → №16 профильного ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BD\) и биссектриса \(AE\), которые пересекаются в точке \(K\). Прямая, проходящая через вершину \(С\) и точку \(K\), пересекает сторону \(АВ\) в точке \(F\). Найти длины отрезков \(AF\) и \(FB\), если известно, что длина стороны \(AB\) равна \(c\), а длина стороны \(АС\) равна \(b\).


Решение

Задача 6Через точку \(В\) проведем параллельную \(АС\) прямую и продолжим отрезки \(АЕ\) и \(CF\) до пересечения с этой прямой в точках \(G\) и \(H\) соответственно.

Нетрудно понять, что треугольник \(ADK\) подобен треугольнику \(BGK\), а треугольник \(CDK\) – треугольнику \(HBK\), поэтому

\(BG = \frac{{AD \cdot BK}}{{KD}} = \frac{{CD \cdot BK}}{{KD}} = BH\)

С другой стороны, угол \(AGB\) равен углу \(BAG\), следовательно, треугольник \(ABG\) равнобедренный и \(AB = BG = BH = c\). Теперь из подобия треугольников \(AFC\) и \(FBH\) получаем: \(BH \cdot AF = AC \cdot BF\), или \(c \cdot AF = b \cdot BF\). Добавив к последнему соотношению очевидное равенство \(AF + BF = c\), придем к системе линейных уравнений относительно \(AF\) и \(ВF\).

Ответ: \(AF = \frac{{bc}}{{b + c}},\;BF = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, 1976 год.
Просмотров: 977 | 17 февраля 2017
Математика ← Экономика
В ваш банк положили 500 000 р. под 10% годовых. Какую сумму денег вы сможете отдать обратно через полгода?



Математика ← Задание 12
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень газировки достигает 162 см. На какой высоте будет находиться уровень газировки, если перелить содержимое первого сосуда во второй сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, сторона основания которого в 3 раза больше стороны основания первого? Ответ выразите в сантиметрах.



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2018. «4ЕГЭ»