Задача 6 → №16 профильного ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BD\) и биссектриса \(AE\), которые пересекаются в точке \(K\). Прямая, проходящая через вершину \(С\) и точку \(K\), пересекает сторону \(АВ\) в точке \(F\). Найти длины отрезков \(AF\) и \(FB\), если известно, что длина стороны \(AB\) равна \(c\), а длина стороны \(АС\) равна \(b\).


Решение

Задача 6Через точку \(В\) проведем параллельную \(АС\) прямую и продолжим отрезки \(АЕ\) и \(CF\) до пересечения с этой прямой в точках \(G\) и \(H\) соответственно.

Нетрудно понять, что треугольник \(ADK\) подобен треугольнику \(BGK\), а треугольник \(CDK\) – треугольнику \(HBK\), поэтому

\(BG = \frac{{AD \cdot BK}}{{KD}} = \frac{{CD \cdot BK}}{{KD}} = BH\)

С другой стороны, угол \(AGB\) равен углу \(BAG\), следовательно, треугольник \(ABG\) равнобедренный и \(AB = BG = BH = c\). Теперь из подобия треугольников \(AFC\) и \(FBH\) получаем: \(BH \cdot AF = AC \cdot BF\), или \(c \cdot AF = b \cdot BF\). Добавив к последнему соотношению очевидное равенство \(AF + BF = c\), придем к системе линейных уравнений относительно \(AF\) и \(ВF\).

Ответ: \(AF = \frac{{bc}}{{b + c}},\;BF = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, 1976 год.
Просмотров: 343 | 17 февраля 2017
Русский язык ← Задание 5
В каком варианте ответа выделенное слово употреблено неверно?



© 2008-2017. «4ЕГЭ»

Если нашли ошибку в тексте, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter.