Задача 6 → №16 профильного ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BD\) и биссектриса \(AE\), которые пересекаются в точке \(K\). Прямая, проходящая через вершину \(С\) и точку \(K\), пересекает сторону \(АВ\) в точке \(F\). Найти длины отрезков \(AF\) и \(FB\), если известно, что длина стороны \(AB\) равна \(c\), а длина стороны \(АС\) равна \(b\).


Решение

Задача 6Через точку \(В\) проведем параллельную \(АС\) прямую и продолжим отрезки \(АЕ\) и \(CF\) до пересечения с этой прямой в точках \(G\) и \(H\) соответственно.

Нетрудно понять, что треугольник \(ADK\) подобен треугольнику \(BGK\), а треугольник \(CDK\) – треугольнику \(HBK\), поэтому

\(BG = \frac{{AD \cdot BK}}{{KD}} = \frac{{CD \cdot BK}}{{KD}} = BH\)

С другой стороны, угол \(AGB\) равен углу \(BAG\), следовательно, треугольник \(ABG\) равнобедренный и \(AB = BG = BH = c\). Теперь из подобия треугольников \(AFC\) и \(FBH\) получаем: \(BH \cdot AF = AC \cdot BF\), или \(c \cdot AF = b \cdot BF\). Добавив к последнему соотношению очевидное равенство \(AF + BF = c\), придем к системе линейных уравнений относительно \(AF\) и \(ВF\).

Ответ: \(AF = \frac{{bc}}{{b + c}},\;BF = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}\).



Источник задачи: вступительные в НГУ, 1976 год.
Просмотров: 1449 | 17 февраля 2017
Математика ← Тренировка
Из трёх стоп бумаги (в стопе 480 листов) сделано 36 равных книг. Сколько листов в каждой?



Математика ← Задание 13
Доисторический омнибус выехал с постоянной скоростью из наукограда В в хутор Ю, расстояние между которыми равно 897 км. Через день после прибытия он отправился обратно в В со скоростью на 30 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 10 часов. В результате доисторический омнибус затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из В в Ю. Найдите время, затраченное на путь из В в Ю. Ответ дайте в часах.



До ЕГЭ 2019 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2018. «4ЕГЭ»