Задача 5 → №15 профильного ЕГЭ

Решите неравенство

\({\log _5}x + {\log _x}\frac{x}{3} < \frac{{{{\log }_5}x \cdot \left( {2 - {{\log }_3}x} \right)}}{{{{\log }_3}x}}\)


Решение

ОДЗ: \(x > 0,\;x \ne 1\).

Перейдём к основанию 5. Имеем

\({\log _5}x + \frac{{{{\log }_5}x - {{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}x}} < \frac{{{{\log }_5}x \cdot \left( {2 - \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}}} \right)}}{{\frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}}}} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{log}}_5^2x + \left( {1 - 2{{\log }_5}3} \right){{\log }_5}x - {{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}x}} < 0 \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{{\log }_5}x - {{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}x + \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\log }_5}x}} < 0 \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_5}x - {{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}x + \frac{1}{2}} \right){\log _5}x < 0.\)

Методом интервалов для \({\log _5}x\) получим

1) \({\log _5}x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < x < {5^{ - 1/2}};\)

2) \(0 < {\log _5}x < {\log _5}3 \Leftrightarrow 1 < x < 3.\)

Ответ: \(x \in \left( {0;\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) \cup \left( {1;3} \right)\)



Источник задачи: сборник Сканави.
Просмотров: 670 | 16 февраля 2017
Математика ← Устный счёт
Женщины на заводе составляют 35% всего количества рабочих завода. Женщин – 175. Количество рабочих завода:



До ЕГЭ 2018 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2017. «4ЕГЭ»