Задача 5 → №15 профильного ЕГЭ

Решите неравенство

\({\log _5}x + {\log _x}\frac{x}{3} < \frac{{{{\log }_5}x \cdot \left( {2 - {{\log }_3}x} \right)}}{{{{\log }_3}x}}\)


Решение

ОДЗ: \(x > 0,\;x \ne 1\).

Перейдём к основанию 5. Имеем

\({\log _5}x + \frac{{{{\log }_5}x - {{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}x}} < \frac{{{{\log }_5}x \cdot \left( {2 - \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}}} \right)}}{{\frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}}}} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{log}}_5^2x + \left( {1 - 2{{\log }_5}3} \right){{\log }_5}x - {{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}x}} < 0 \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{{\log }_5}x - {{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}x + \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\log }_5}x}} < 0 \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_5}x - {{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}x + \frac{1}{2}} \right){\log _5}x < 0.\)

Методом интервалов для \({\log _5}x\) получим

1) \({\log _5}x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < x < {5^{ - 1/2}};\)

2) \(0 < {\log _5}x < {\log _5}3 \Leftrightarrow 1 < x < 3.\)

Ответ: \(x \in \left( {0;\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) \cup \left( {1;3} \right)\)



Источник задачи: сборник Сканави.
Просмотров: 1417 | 16 февраля 2017
Математика ← Устный счёт
Расстояние от дома учеников до школы 700м. Если шаг старшего брата на 20см больше шага младшего братишки, то он до школы делает на 400 шагов меньше братишки. Сколько шагов делает братишка до школы?



Математика ← Задание 1
Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?



Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2018. «4ЕГЭ»