Задача 4 → №18 профильного ЕГЭ

Найдите все значения \(а\), при которых имеет единственное решение система

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x^2} + 1} \right)a = y - \cos x,}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + \left| y \right| = 1.}\end{array}} \right.\)


Решение

Система чётна относительно х. Следовательно, для единственности решения необходимо \(x\; = \;0\). Тогда \(a = y + 1\), \(y = \pm 1\), откуда \({\rm{a = 0}}\) или \({\rm{a = 2}}\).

При \({\rm{a = 0}}\) имеем:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \cos x,}\\{\left| y \right| = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + 1.}\end{array}} \right.\)

Подстановка даёт

\(\left| {\cos x} \right| = - {\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = - {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\)

Данное уравнение уже имеет бесконечное множество решений вида \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\), а значит и исходная система также будет иметь бесконечное множество решений вида \(\left( {\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};0} \right)\).

При \({\rm{a = 2}}\) имеем два случая. Первый:

\(2{x^2} + 2 = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x + 1.\)

Левая часть равенства не меньше 2, а правая – не больше 2, поэтому равенство достигается только при x = 0. Второй случай:

\(2{x^2} + 2 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x - 1,\)

рассуждения аналогичные.


Ответ: 2.



Источник задачи: олимпиада "Покори Воробьевы горы!", заключительный этап. 2016 год.
Просмотров: 403 | 15 февраля 2017
Математика ← Экономика
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Ивановна получила 13 920руб. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Ивановны?



© 2008-2017. «4ЕГЭ»

Если нашли ошибку в тексте, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter.