Разбор заданий из школьного тура олимпиады 2017-2018

1. (7 баллов) В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую - на 2, третью - на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.

2. (7 баллов) Билет в кино стоил 300 рублей. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50 процентов, а выручка кинотеатра выросла на 35 процентов. Сколько рублей составляет цена одного билета теперь?

3. (7 баллов) Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й члeн этой прогрессии?

4. (7 баллов) На плоскости дан квадрат ABCD со стороной 1 и точка X (см.рисунок). Известно, что XA = p5, XC = p7. Чему равно XB?

5. (7 баллов) Рассмотрим уравнение sin3 x + cos3 x = −1. Сколько у него решений на промежутке [0, 6]?

6. (7 баллов) Про тетраэдр ABCD известно, что AB · CD = AC · BD = AD · BC. Пусть IA, IB, IC, ID центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CDA, DAB и ABC соответственно. Докажите, что отрезки AIA, BIB, CIC, DID пересекаются в одной точке.